Question

如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB、直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，F(xiàn)為AB的中點，連接DF、EF、DE，EF與AC交于點O，DE與AB交于點G，連接OG，若∠BAC=30°，下列結論：①△DBF≌△EFA；②AD=AE；③EF⊥AC；④AD=4AG；⑤△AOG與△EOG的面積比為1：4．
其中正確結論的個數(shù)是

1. A.
   2個
2. B.
   3個
3. C.
   4個
4. D.
   5個

Answer 1

B
分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和已知先證△ABC≌△EFA，判斷出③正確；再證△DBF≌△EFA，判斷出①②；根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)即可判斷出④，根據(jù)三角形的面積和等高的三角形的面積比等于對應的邊之比即可求出△AOG與△EOG的面積比為1：3，即可判斷出⑤．
解答：解∵△ACE是等邊三角形
∴∠EAC=60°，AE=AC，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC
∵F為AB的中點，
∴AB=2AF，
∴BC=AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴∠AEF=∠BAC=30°，
∴∠AOE=180°-30°-60°=90°，∴③正確；
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），∴①正確；
∵△DBF≌△EFA，
∴AE=DF，
在Rt△ADF中，斜邊AD＞直角邊DF，
即AD＞AE，∴②錯誤；
∵△ADB是等邊三角形，
∴AD=DB，∠ADB=60°，
∵F為AB中點，
∴∠ADF=30°，
∴AD=2AF，
∵△BDF≌△FAE，
∴AE=DF，EF=BD=AD，
∴四邊形DFEA是平行四邊形，
∴AF=2AG=2FG，
∴AD=2AF=4AG，∴④正確；
設OF=a，
∵EF⊥AC，
∴∠AOF=90°，
∵∠CAB=30°，
∴AF=2a，
∵∠AFO=∠AFO，∠AOF=∠FAE=90°，
∴△FAO∽△FEA，
∴=，
∴=，
∴EF=4a，
∴EO=4a-a=3a，
∵△FGO的邊FO上的高和△EOG的邊EO上的高相等，
∴S_△EOG=3S_△FOG，
∵AG=GF，△AOG的邊AG上的高和△FOG的邊FG上的高相等，
∴S_△AOG=S_△FOG，
即△AOG與△EOG的面積比為1：3，∴⑤錯誤；
故選B．
點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，對應三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積，相似三角形的性質(zhì)和判定，含30度角的直角三角形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識點的綜合運用．