Question

⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，如圖（1），連接O₂O₁并延長交⊙O₁于P點，連接PA、PB并分別延長交⊙O₂于C、D兩點，連接CO并延長交⊙O₂于E點．已知⊙O₂的半徑為R，設∠CAD=α．
（1）求CD的長（用含R、α的式子表示）；
（2）試判斷CD與PO₁的位置關系，并說明理由；
（3）設點P’為⊙O₁上（⊙O₂外）的動點，連接P’A、P’B并分別延長交⊙O₂于C’、D’，請你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’與P’O₁的位置關系如何？并說明理由．
（注：圖（2）與圖（3）中⊙O₁和⊙O₂的大小及位置關系與圖（1）完全相同，若你感到繼續(xù)在圖（1）中探究問題（3），圖形太復雜，不便于觀察，可以選擇圖（2）或圖（3）中的一圖說明理由）．

Answer 1

解：（1）連接DE．
根據圓周角定理的推論，得∠E=∠CAD=α．
∵CE是直徑，
∴∠CDE=90°．
∴CD=CE•sinE=2Rsinα；

（2）CD與PO₁的位置關系是互相垂直．理由如下：
連接AB，延長PO₁與⊙O₁相交于點E，連接AE．
∵四邊形BAC′D′是圓內接四邊形，
∴∠ABP′=∠C′．
∵P′E是直徑，
∴∠EAP′=90°，
∴∠AP′E+∠E=90°．
又∠ABP′=∠E，
∴∠AP′E+∠C′=90°，
即CD與PO₁的位置關系是互相垂直；

（3）根據同弧所對的圓周角相等，則說明∠C’AD’等于α；根據（2）中的證明過程，則可以證明C’D’與P’O₁的位置關系是互相垂直．
分析：（1）作⊙O₂的直徑CE，連接DE．根據圓周角定理的推論，得∠E=∠CAD=α，再利用解直角三角形的知識求解；
（2）連接AB，延長PO₁與⊙O₁相交于點E，連接AE．根據圓內接四邊形的性質，得∠ABP′=∠C′，根據圓周角定理的推論，得∠ABP′=∠E，∠EAP′=90°，從而證明∠AP′E+∠C′=90°，則CD與PO₁的位置關系是互相垂直；
（3）根據同弧所對的圓周角相等，則說明∠C’AD’等于α；根據（2）中的證明過程，則可以證明C’D’與P’O₁的位置關系是互相垂直．
點評：此題綜合運用了圓周角定理及其推論、直角三角形的性質、圓內接四邊形的性質．
注意：連接兩圓的公共弦、構造直徑所對的圓周角都是圓中常見的輔助線．