Question

設(shè)有k個(gè)自然數(shù)a₁，a₂，…，a_k滿足條件1≤a₁＜a₂＜…＜a_k≤50，并且任意兩個(gè)數(shù)的和都不能被7整除，那么這些自然數(shù)的個(gè)數(shù)k最多為

23

．

Answer 1

分析：把所有自然數(shù)按被7除余數(shù)分類(lèi)，對(duì)于任意兩個(gè)數(shù)的和都不能被7整除，余數(shù)只能為（1，2，3）或（4，5，6）任意兩個(gè)數(shù)的和符合要求，由此解決問(wèn)題．

解答：解：a₁，a₂，…，a_k被7除余數(shù)分別為0，1，2，3，4，5，6，
余數(shù)只能為（1，2，3）或（4，5，6）任意兩個(gè)數(shù)的和都不能被7整除，
因?yàn)?，2，3，…，，49這49個(gè)數(shù)被7除余數(shù)分別為0，1，2，3，4，5，6，正好循環(huán)7次，50除以7的余數(shù)是1，
由此可知余數(shù)為（1，2，3）的數(shù)有3×7+1=22個(gè)符合要求，
另外只放一個(gè)7的倍數(shù)也可以使任意兩個(gè)數(shù)的和都不能被7整除，
因此這些自然數(shù)的個(gè)數(shù)k最多為 22+1=23個(gè)．
故答案為23．

點(diǎn)評(píng)：此題主要利用一個(gè)自然數(shù)被7除的余數(shù)進(jìn)行分析討論，尋找解決問(wèn)題的突破口．