Question

若方程x²-2x-m+1=0沒有實(shí)數(shù)根，求證：方程x²-（2m-1）x+m²-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式

專題：證明題

分析：由于方程x²-2x-m+1=0沒有實(shí)數(shù)根，根據(jù)判別式的意義得到（-2）2-4×1×（-m+1）＜0，解得m＜0，再計(jì)算x²-（2m-1）x+m²-2=0的根的判別式得到△=-4m+8，利用m＜0可判斷△＞0，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論．

解答：證明：∵方程x²-2x-m+1=0沒有實(shí)數(shù)根，
∴（-2）2-4×1×（-m+1）＜0，
解得m＜0，
x²-（2m-1）x+m²-2=0的根的判別式△=（2m-1）²-4（m²-2）
=-4m+8，
∵m＜0，
∴-4m+8＜0，即△＞0，
∴方程x²-（2m-1）x+m²-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．