Question

已知：拋物線y=x²+2x-3與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，直線y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C；
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)和直線AC的解析式；
（2）點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使得△ACP的面積與△ACD的面積相等的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由拋物線解析式y(tǒng)=x²+2x-3=（x+1）²-4，
得D（-1，-4）；
點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是A（-3，0），C（0，-3），
∵直線y=kx+b經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，
∴，
∴；
∴直線AC的解析式為y=-x-3；

（2）①過(guò)點(diǎn)D作與直線y=-x-3平行的直線，交拋物線于點(diǎn)P；
則S_△ACP=S_△ACD；
設(shè)平移后的直線的解析式為y=-x+t，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-4）；
∴t=-5；
∴P（m，-m-5），
∴-m-5=m²+2m-3，
解得m=-1（舍去）或m=-2；
∴P（-2，-3）；
②直線DP：y=-x-5與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-5），
則直線DP關(guān)于直線y=-x-3對(duì)稱的直線l的解析式為y=-x-1，l交拋物線于P′，設(shè)P′（m′，-m′-1）；
由于點(diǎn)P’在拋物線y=x²+2x-3上，
∴-m′-1=m′²+2m′-3；
解得；
∴P′（）或P′（）；
∴所求點(diǎn)P的坐標(biāo)分別是（-2，-3），（），（）．
分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式，可求出點(diǎn)A、C、D的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式；
（2）由于△ACP和△ACD同底，若它們的面積相等，則點(diǎn)P到AC的距離等于點(diǎn)D到AC的距離；過(guò)點(diǎn)D作直線AC的平行線，那么此平行線與拋物線的交點(diǎn)必為所求的P點(diǎn)；設(shè)直線DP關(guān)于直線AC對(duì)稱的直線為l，那么直線l和直線AC的距離也等于D到AC的距離，因此直線l與拋物線的交點(diǎn)也符合點(diǎn)P的要求，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)共有3個(gè)，可先求出直線DP和直線l的解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)以及頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法、一次函數(shù)解析式的確定、三角形面積的求法以及函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等重要知識(shí)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度偏大．