Question

（2004•揚州）如圖，直角坐標系中，已知點A（3，0），B（t，0）（0＜t＜），以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點E是直線OC與正方形ABCD的外接圓除點C以外的另一個交點，連接AE與BC相交于點F．
（1）求證：△OBC≌△FBA；?
（2）一拋物線經(jīng)過O、F、A三點，試用t表示該拋物線的解析式；?
（3）設(shè)題（2）中拋物線的對稱軸l與直線AF相交于點G，若G為△AOC的外心，試求出拋物線的解析式；?
（4）在題（3）的條件下，問在拋物線上是否存在點P，使該點關(guān)于直線AF的對稱點在x軸上？若存在，請求出所有這樣的點；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）這兩個三角形中，已知的條件有∠BCE=∠BAE（圓周角定理），一組直角，BC=AB，因此構(gòu)成了全等三角形的判定條件，因此兩三角形全等．
（2）本題的關(guān)鍵是求出F的坐標，根據(jù)（1）的全等三角形可得出OB=BF=t，由此可得出F的坐標，然后代入拋物線中即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（3）易知：正方形的邊長為3-t，因此C（t，3-t），可設(shè)G的坐標為（1.5，b），根據(jù)GO=GC可用t表示出G的縱坐標，然后代入拋物線的直線AF的即解析式中即可求出t的值．即能確定出拋物線的解析式．
（4）根據(jù)（3）得出的條件，易證得CF：BF=AC：AB=，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線判定定理，可得出AF是∠CAB的角平分線，如果存在P點，那么P必為拋物線與直線AC的交點，可聯(lián)立兩個函數(shù)的解析式求出交點坐標即可．
解答：解：（1）證明：∵∠BCE=∠BAE，∠FAB=∠OBC=90°，AB=BC
∴△OBC≌△FBA．

（2）由（1）易知：OF=OB=t，
因此F（t，t），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x-3），
則有：t=at（t-3），a=，
∴拋物線的解析式為y=x²-x．

（3）易知：C（t，3t）
設(shè)G點坐標為（，h），由于GC=OG，
則有（-t）²+（h-3+t）²=（）²+h²
解得h=．
設(shè)直線AF的解析式為y=kx+b，
則有：，
解得，
∴直線AF的解析式為y=x-．
由于直線AF過G點，
則有當(dāng)x=時，
=×-，
解得t=，
由于0＜t＜，
∴t=
∴拋物線的解析式為y=-x²+x．

（4）由（3）知，BF=t==（3-3），CF=3-2t=3-3．
∴=
∴AF是∠CBA的角平分線，
∴若存在P點，則P點必為直線AC與拋物線的交點．
易知：直線AC的解析式為：y=-x+3．
則有，
解得，
，
∴存在P點，其坐標為（，）．
點評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)、圓、全等三角形的判定、軸對稱圖形等知識點．綜合性強，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．