Question

如圖所示，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的⊙O交斜邊AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，連接ED．
（1）試說(shuō)明：ED是⊙O的切線；
（2）若⊙O 直徑為6，線段BC長(zhǎng)為8，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）可求得∠DEO=90°，即可得到DE是⊙O的切線；
（2）根據(jù)勾股定理求出AB，以及利用三角形面積求出BE，進(jìn)而得出AE的長(zhǎng)．

解答：解：（1）證明：連接BE，EO；
∵AB為⊙O直徑．
∴∠AEB=90°．
∴△CEB為直角三角形．
∵D為BC中點(diǎn)；
∴DC=BD=ED．
∴∠DEB=∠EBD．
∵EO=OB；
∴∠OEB=∠OBE．
∴∠OEB+∠DEB=∠OBE+∠DBE=∠ABC=90°．
即∠DEO=90°．
∴DE與⊙O相切于點(diǎn)E．

（2）解：∵BE⊥AC，
∴BE×AC=AB×BC，
∵AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∴BE=4.8，
∴AE=

AB 2-BE2

=

18

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定方法以及勾股定理和三角形面積求法應(yīng)用，根據(jù)已知得出BE的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．