Question

已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)．
（1）如圖，E、F分別是AB，AC上的動點(diǎn)，且BE=AF，求證：△DEF為等腰直角三角形；
（2）在（1）的條件下，四邊形AEDF的面積是否變化，證明你的結(jié)論；
（3）若E、F分別為AB，CA延長線上的點(diǎn)，仍有BE=AF，其他條件不變，那么△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）題要通過構(gòu)建全等三角形來求解．連接AD，可通過證△ADF和△BDE全等來求本題的結(jié)論．
（2）題可把將四邊形AEDF的面積分成△ADF和ADE的面積和求解，由（1）證得△ADF和△BDE全等，因此四邊形AEDF的面積可轉(zhuǎn)化為△ABD的面積，由此得證．
（3）與（1）題的思路和解法一樣．

解答：（1）證明：連接AD
∵AB=AC，∠A=90°，D為BC中點(diǎn)
∴AD=

BC

2

=BD=CD
且AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD=45°
在△BDE和△ADF中，

BD=AD ∠B=∠DAF=45° BE=AF

∴△BDE≌△ADF（SAS）
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF
∵∠BDE+∠ADE=90°
∴∠ADF+∠ADE=90°
即：∠EDF=90°
∴△EDF為等腰直角三角形．

（2）解：四邊形AEDF面積不變．
理由：∵由（1）可知，△AFD≌△BED
∴S_△BDE=S_△ADF，
而S_{四邊形AEDF}=S_△AED+S_△ADF=S_△AED+S_△BDE=S_△ABD
∴S_{四邊形AEDF}不會發(fā)生變化．

（3）解：仍為等腰直角三角形．
理由：∵△AFD≌△BED
∴DF=DE，∠ADF=∠BDE
∵∠ADF+∠FDB=90°
∴∠BDE+∠FDB=90°
即：∠EDF=90°
∴△EDF為等腰直角三角形．

點(diǎn)評：本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)及判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，難度較大．