Question

如圖，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓的直徑．
（1）求證：AC•AB=AD•AE；
（2）若AB=8，AC=5，AD=4，求⊙O的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：（1）連接CE，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等可以證明三角形相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例證明．
（2）由（1）可知AC•AB=AD•AE，根據(jù)已知數(shù)據(jù)可求出AE的長(zhǎng)，即圓的直徑所以半徑可求，利用圓的面積公式計(jì)算即可．

解答：（1）證明：連接CE；
由圓周角定理可知，∠B=∠E，
∵∠ADB=∠ACE=90°，∠B=∠E，
∴△ADB∽△ACE．
∴AB：AE=AD：AC，
∴AC•AB=AD•AE；

（2）∵AC•AB=AD•AE，AB=8，AC=5，AD=4，
∴5×8=4×AE，
∴AE=10，
∴⊙O的半徑AO=5，
∴⊙O的面積為25π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)以及圓的面積公式的運(yùn)用，題目綜合性較強(qiáng)，難度不大，是一道不錯(cuò)的中考題．