Question

如圖，亮亮在不打滑的平面軌道上滾動(dòng)一個(gè)半徑為10cm的圓盤，其中AB=80cm，BC與水平面的夾角為60°．當(dāng)圓盤從A點(diǎn)滾到與BC開(kāi)始相切時(shí)停止，設(shè)圓盤切BC于點(diǎn)E，切AB于點(diǎn)D．
（1）當(dāng)圓盤在AB上滾動(dòng)一圈時(shí)，求其圓心所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)度？（精確到0.1cm）
（2）當(dāng)圓盤從A點(diǎn)滾到與BC開(kāi)始相切時(shí)，求其圓心O所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)是多少？（精確到0.1cm）
（3）設(shè)斜坡的頂端為點(diǎn)C點(diǎn)，當(dāng)坡高CF為30cm時(shí)，求切點(diǎn)E到頂端C的距離．（精確到0.1cm）

Answer 1

分析：（1）當(dāng)圓盤在AB上滾動(dòng)一圈時(shí)，其圓心所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為圓的周長(zhǎng)，所以由圓的半徑求出圓的周長(zhǎng)即可；
（2）當(dāng)圓盤從A點(diǎn)滾到與BC開(kāi)始相切時(shí)，連接OD和OB，根據(jù)切線性質(zhì)得到三角形OBD為直角三角形且角OBD為60°，設(shè)BD=x，根據(jù)勾股定理即可列出關(guān)于x的方程，求出x的值得到BD的長(zhǎng)，用AB-BD即可求出AD的長(zhǎng)即為其圓心O所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)是AD的長(zhǎng)度；
（3）在直角三角形CBF中，由CF的長(zhǎng)和角CBF的度數(shù)，利用三角函數(shù)，即可求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)（2）中求出的BD長(zhǎng)得到EB的長(zhǎng)，利用BC-BE即可求出EC的長(zhǎng)．

解答：解：（1）由圓的半徑10cm，得到圓的周長(zhǎng)C=2πr=20π≈62.8cm，
所以當(dāng)圓盤在AB上滾動(dòng)一圈時(shí)，求其圓心所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)度是62.8cm；

（2）連接OD和OB，根據(jù)切線性質(zhì)得到∠ODB=90°，∠DOB=30°，
設(shè)BD=xcm，則OB=2xcm，根據(jù)勾股定理得：DB²+OD²=OB²，
即x²=

100

3

，
解得x=

10 3

3

，
即BD=

10 3

3

cm，
所以當(dāng)圓盤從A點(diǎn)滾到與BC開(kāi)始相切時(shí)，其圓心O所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)是AD=AB-BD=80-

10 3

3

≈74.2cm；

（3）由切線性質(zhì)得：BD=BE=

10 3

3

cm，
在直角△BCF中，∠CBF=60°，CF=30cm，
則BC=

CF

sin60°

=20

3

cm，
所以切點(diǎn)E到頂端C的距離為20

3

-

10 3

3

=28.9cm．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握?qǐng)A切線的性質(zhì)即圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切線長(zhǎng)相等且圓心與這點(diǎn)的連線平分兩切線的夾角，靈活運(yùn)用勾股定理及三角函數(shù)的定義化簡(jiǎn)求值，考查學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生識(shí)別圖形的能力，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來(lái)自于生活，又服務(wù)于生活的理念．