Question

已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC于點D，AD=DC，∠FCD=∠BAD，點F在AD上，BF的延長線交AC于點E．
（1）求證：BE⊥AC；
（2）設(shè)CE的長為m，用含m的代數(shù)式表示AC+BF．

Answer 1

（1）證明：∵AD⊥BC于點D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△CFD中

∴△ABD≌△CFD（ASA），
∴BD=DF，
∴∠FBD=∠BFD=45°，
∴∠AFE=∠BFD=45°，
又∵AD=DC，
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∴∠AEF=90°，
∴BE⊥AC．

（2）解：∵∠EBC=∠ACD=45°，CE=m，
∴BE=CE=m
又∵∠AFE=∠FAE=45°，
∴AE=FE，
∴AC+BF
=CE+AE+BF
=CE+EF+BF
=CE+BE
=CE+CE
=2m．
分析：（1）根據(jù)ASA證△ABD≌△CFD，推出BD=DF，求出∠AFE=∠BFD=45°，根據(jù)AD=DC求出∠DAC=∠ACD=45°，求出∠AEF=90°，根據(jù)垂直定義推出即可；
（2）求出BE=CE=m，AF=EF，推出AC+BF=CE+BE=2CE，代入求出即可．
點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，垂直定義等知識點的綜合運用．