Question

在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10cm，CD=4cm．等腰直角三角形PMN的斜邊MN=10cm，A點與N點重合，MN和AB在一條直線上，設等腰梯形ABCD不動，等腰直角三角形PMN沿AB所在直線以1cm/s的速度向右移動，直到點N與點B重合為止．
（1）等腰直角三角形PMN在整個移動過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由

 

變化為

 

；
（2）設當?shù)妊�直角三角形PMN移動x（s）時，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積為y（cm²）：
①當x=6s時，則y的值是

 

cm²；（直接寫出答案，不必寫出過程）
②求x為何值時，y=4cm²；（要求寫出過程）
③當x=

 

s時，y=15cm²．（直接寫出答案，不必寫出過程）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象移動可以得到結(jié)論；
（2）①過E作EH⊥AN于H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AN、EH，根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案；②AN=x（cm），過點E作EH⊥AB于點H，求出EH=

1

2

AN=

1

2

x，根據(jù)三角形的面積公式求出即可；③當6＜x≤10時，重疊部分的形狀是等腰梯形ANED，AN=x（cm），由∠PNM=∠B=45°得出EN∥BC．得到平行四邊形ENBC，CE=BN=10-x，DE=4-（10-x）=x-6，過點D作DF⊥AB于F，過點C作CG⊥AB于G，則AF=BG，DF=AF，根據(jù)y=S_梯形ANED=

1

2

（DE+AN）•DF求出即可．

解答：解：（1）故答案為：等腰直角三角形，等腰梯形．

（2）解：等腰直角三角形PMN在整個移動過程中與等腰梯形ABCD重疊部分圖形的形狀可分為以下兩種情況：
①AN=6，
過E作EH⊥AN于H，
∵∠EAN=∠ENA=45°，
∴EA=EN，∠AEN=90°，
∴EH=AH=HN=3，
∴y=

1

2

×6×3=9，
故答案為：9．

②解：當0＜x≤6時，重疊部分的形狀為等腰直角三角形EAN（如圖①）．
此時AN=x（cm），過點E作EH⊥AB于點H，則EH平分AN，
∴EH=

1

2

AN=

1

2

x，
則y=S_△ANE=

1

2

AN•EH=

1

2

x•

1

2

x=

1

4

x²，

1

4

x²=4，
解得x₁=4x₂=-4（不合題意，舍去），
∴x=4，
答：當x=4（s）時，y=4cm²．
③當6＜x≤10時，重疊部分的形狀是等腰梯形ANED，此時AN=x（cm），
∵∠PNM=∠B=45°，
∴EN∥BC．
∵CE∥BN，
∴四邊形ENBC是平行四邊形，CE=BN=（10-x）cm，DE=4-（10-x）=（x-6）cm．
過點D作DF⊥AB于F，過點C作CG⊥AB于G，則AF=BG，DF=AF=

1

2

（10-4）=3．
y=S_梯形ANED=

1

2

（DE+AN）×DF=

1

2

（x-6+x）×3=3x-9
∴3x-9=15，解得：x=8．
故答案為：8．

點評：本題主要考查對等腰梯形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角形的面積，平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．