Question

已知拋物線y=x²-（a+b）x+

c2

4

，a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊．
（1）求證：該拋物線與x軸必有兩個交點；
（2）設拋物線與x軸的兩個交點為P、Q，頂點為R，∠PQR=α，已知tanα=

5

，△ABC的周長為10，求拋物線的解析式；
（3）設直線y=ax-bc與拋物線交于點E、F，與y軸交于點M，若拋物線的對稱軸為x=a，O為坐標原點，S_△MOE：S_△MOF=5：1，試判斷△ABC的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由a+b＞c得（a+b）²-c²＞0，進而得該二次函數有兩個不同的根．即該二次函數與x軸有兩個交點．
（2）利用周長的和為10，頂點的縱坐標比上拋物線與x軸的右邊交點橫坐標與頂點橫坐標的差的值為正切值；解方程組求出（a+b）的值和c的值；代入解析式即可．
（3）求得a，b，c長度之間的關系，知道a=b=3，即可得三角形ABC為等腰三角形．

解答：解：（ 1）由二次函數的判別式△=（a+b）²-4×

c2

4

=（a+b）²-c²
∵在三角形中a，b，c為三角形三邊
∴a+b＞c
∴（a+b）²-c²＞0
∴該二次函數有兩個不同的根．即該二次函數與x軸有兩個交點．
（2）由題意a+b+c=10①
二次函數的頂點（

a+b

2

，

c2- (a+b)2

4

）②
二次函數的根為x=

a+b±  (a+b)2-4c2

2

③
由題意得：

c2-(a+b)2 4

a+b+ (a+b)2-c2 2 - a+b 2

=

5

④
由以上①②③④解得c=4，c=5（不符舍去）
則a+b=6
所以二次函數式為：y=x²-6x+4．
（3）由題意x=a=

a+b

2

=3
∴b=3
∴y=3x-12
∴三角形為等腰三角形．

點評：本題考查了二次函數的綜合計算，（1）利用三邊關系，來求得判別式大于0而得．（2）利用周長的和為10，頂點的縱坐標比上拋物線與x軸的右邊交點橫坐標與頂點橫坐標的差的值為正切值；解方程組求出（a+b）的值和c的值；代入解析式即可． （3）求得a=b=3，即求得三角形ABC為等腰三角形．