Question

已知：如圖，點A、B、C為⊙O上的點，點D在OC的延長線上，∠CBA=∠CDA=30°．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若OD⊥AB于M，BC=5，求DC的長．

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理由∠CBA=30°，得出∠O=2∠B=60°，進而得出∠CDA+∠O=90°，即∠OAD=90°問題得證．
（2）利用垂徑定理得出AM=BM，進而得出AM，CM的長，再利用tan30°=

AM

DM

，即可得出DM的長，即可求出CD的長．

解答：（1）證明：連接OA，
∵∠B是

AC

所對的圓周角，∠O是

AC

所對的圓心角，
∠CBA=30°，
∴∠O=2∠B=60°，
∵∠CDA=30°，
∴∠CDA+∠O=90°．
∴∠OAD=90°．
∴OA⊥AD．
∵OA為半徑，
∴AD是⊙O的切線，

（2）解：∵OD⊥AB于M，
∴AM=BM．
∵∠B=30°，BC=5，
∴CM=

5

2

，BM=

5 3

2

．
∴AM=

5 3

2

．
在Rt△MAD中，
∵∠CDA=30°，
∴tan30°=

AM

DM

=

5 3 2

DM

=

3

3

．
解得：DM=

5 3

2

×

3

=

15

2

．
∴CD=DM-CM=

15

2

-

5

2

=5．
∴CD=5．

點評：此題主要考查了切線的判定與性質以及解直角三角形和勾股定理等知識，解題的關鍵是利用勾股定理得出AM，CM，以及利用銳角三角函數求出DM的長．