Question

（2008•南平質(zhì)檢）如圖，A是半徑為6cm的⊙O上的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以πcm/s的速度沿圓周按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P回到A時(shí)立即停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）
（1）當(dāng)t=6s時(shí)，∠POA的度數(shù)是

180

；
（2）當(dāng)t為多少時(shí)，∠POA=120°；
（3）如果點(diǎn)B是OA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AB=AO，問t為多少時(shí)，△POB為直角三角形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)路程=速度×?xí)r間得出當(dāng)t=6s時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程即

AP

的長(zhǎng)度，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求出∠POA的度數(shù)；
（2）當(dāng)∠POA=120°時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長(zhǎng)的

1

3

或

2

3

，所以分兩種情況進(jìn)行分析；
（3）△POB為直角三角形時(shí)，由于動(dòng)點(diǎn)P沿圓周運(yùn)動(dòng)，所以以B為頂點(diǎn)的角不可能為直角，那么分∠POB=90°，∠OPB=90°兩種情況進(jìn)行分析．

解答：解：（1）設(shè)∠POA=n°，則

AP

=6π=

nπ×6

180

，
∴n=180．
即∠POA的度數(shù)是180．
故答案為180；

（2）當(dāng)∠POA=120°時(shí)，如圖，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長(zhǎng)的

1

3

（圖中P₁處）或

2

3

（圖中P₂處），
設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長(zhǎng)的

1

3

時(shí)，π•t=

1

3

•2π•6，
解得t=4；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長(zhǎng)的

2

3

時(shí)，π•t=

2

3

•2π•6，
解得t=8；
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為4s或8s時(shí)，∠POA=120°；

（3）分兩種情況：
①當(dāng)∠POB=90°時(shí)，如圖，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長(zhǎng)的

1

4

（圖中P₁處）或

3

4

（圖中P₂處），
設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長(zhǎng)的

1

4

時(shí)，π•t=

1

4

•2π•6，
解得t=3；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長(zhǎng)的

3

4

時(shí)，π•t=

3

4

•2π•6，
解得t=9．
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3s或9s時(shí)，△POB為直角三角形；
②當(dāng)∠OPB=90°時(shí)，如圖，（圖中P₃處）或（圖中P₄處），
設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)P₃處時(shí)，連接AP₃．
∵∠OP₃B=90°，OA=AB，
∴AP₃=OA=OP₃，
∴△OAP₃是等邊三角形，
∴∠AOP₃=60°，
∴π•t=

1

6

•2π•6，
解得t=2；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)P₄處時(shí)，連接AP₄．
∵∠OP₄B=90°，OA=AB，
∴AP₄=OA=OP₄，
∴△OAP₄是等邊三角形，
∴∠AOP₄=60°，
∴π•t=（1-

1

6

）•2π•6，
解得t=10．
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s或10s時(shí)，△POB為直角三角形．
綜上可知，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s或3s或9s或10s時(shí)，△POB為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度中等．進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵，本題容易漏解．