Question

如圖，過點(diǎn)B（2，0）的直線l：交y軸于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y=的圖象交于點(diǎn)C（3，n）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）將△OBC繞點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)α角（α為銳角），得到△OB′C′．當(dāng)OC′⊥AB時，求點(diǎn)C運(yùn)動的路徑長．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法把B（2，0）代入直線l的解析式可以算出k的值，繼而得到直線l的解析式，再把C點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l的解析式可以算出C點(diǎn)坐標(biāo)，再把C點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=即可得到反比例函數(shù)的解析式；
（2）首先根據(jù)題意畫出圖形，證明AO=CO，根據(jù)等邊對等角可得∠ACO=∠OAC，再利用勾股定理計(jì)算出AB的長，繼而得到∠OAC的度數(shù)，也就是得到了∠ACO的度數(shù)，再由條件OC′⊥AB計(jì)算出∠C′OC的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式計(jì)算出點(diǎn)C運(yùn)動的路徑長．
解答：解：（1）∵點(diǎn)B（2，0）在直線l：上，
∴2k+2=0，
∴k=-，
直線l的解析式為：y=-x+2，
∵點(diǎn)C（3，n）在直線y=-x+2上，
∴-×3+2=n，
n=-，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)是（3，-），
∵C（3，-）在反比例函數(shù)y=的圖象上，
∴m=-3，
∴反比例函數(shù)的解析式是：y=-；

（2）過C點(diǎn)作CE⊥x軸于E，如圖，
∵C點(diǎn)坐標(biāo)是（3，-），
∴OC==2，
∵點(diǎn)A是直線y=-x+2與y軸交點(diǎn)，
∴AO=2，
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠OAC，
又∵OB=2，
∴AB==4，
∴∠OAB=30°，
∴∠ACO=30°，
∵OC′⊥AB，
∴∠C′OC=60°，
點(diǎn)C的運(yùn)動路徑的長度==．
點(diǎn)評：此題主要考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)關(guān)系式，以及旋轉(zhuǎn)和弧長公式，關(guān)鍵是掌握凡是圖象經(jīng)過的點(diǎn)都能滿足解析式，求出∠C′OC的度數(shù)是解決第二問的關(guān)鍵．