Question

20．如圖，拋物線y=x²+bx+c（c＞0）與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為A，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，tan∠AOE=$\frac{3}{2}$．直線OA與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為B．當(dāng)OC=2AD時(shí)，c的值是$\frac{9}{2}$或$\frac{27}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)A（2m，3m）、B（2n，3n），當(dāng)OC=2AD時(shí)，能找出點(diǎn)D為線段BC中點(diǎn)，從而得出m、n間的關(guān)系，將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線與拋物線對稱軸x=2m聯(lián)立方程組，解方程組即可求得c的值．

解答 解：由tan∠AOE=$\frac{3}{2}$，可設(shè)A、B點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2m，3m）、（2n，3n），
∵AD∥OC，
∴∠ADB=∠OCB，∠DAB=∠COA，
∴△BAD∽△BOC．
∵OC=2AD，
∴D點(diǎn)為線段BC的中點(diǎn)，
∵C（0，c），B（2n，3n），
∴D點(diǎn)橫坐標(biāo)為$\frac{0+2n}{2}$=n，
由題意知A、D點(diǎn)均在拋物線的對稱軸上，
∴n=2m，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4m，6m），
∵A，B在拋物線上，且拋物線對稱軸為x=2m，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{3m=4{m}^{2}+2bm+c}\\{6m=16{m}^{2}+4bm+c}\\{-\frac{2}=2m}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{b=0}\\{c=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{4}}\\{b=-3}\\{c=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∵c＞0，
∴c=$\frac{9}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的相似以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)OC=2AD找到A、B點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系．