Question

如圖，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為4，⊙O的半徑為1，圓心在正方形的中心上，將紙片按圖示方式折疊，使E A′恰好與⊙O相切于點(diǎn)A′，延長(zhǎng)F A′交CD邊于點(diǎn)G，則A′G的長(zhǎng)是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)翻折變換后EA′是⊙0的切線，然后利用切線的性質(zhì)，有FG⊥EA′，因?yàn)辄c(diǎn)O是正方形的中心，所以AF=CG，再過點(diǎn)F作DC的垂線交DC于S，在直角△FGS中，設(shè)AF=x，由翻折可知A′F=x，由圓的半徑為1，利用FA+AO表示出OF，由FG=2OF表示出FG，而FS為正方形的邊長(zhǎng)為4，GS等于正方形的邊長(zhǎng)CD-CG-DS，而CG=DS=AF=x，故表示出SG，用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到線段AF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出A′G的長(zhǎng)．

解答：解：如圖，作FS⊥CD于點(diǎn)S點(diǎn)，
由翻折可知：△AFE≌△FA′E，
∴FA=FA′，
∵四邊形ADSF是矩形，
∴AF=SD，AD=FS，
又正方形是以O(shè)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，
∴AF=CG，F(xiàn)O=OG=

1

2

FG，
設(shè)AF=A′F=DS=CG=x，
則GS=4-2x，F(xiàn)O=FA′+OA′=1+x，F(xiàn)G=2（1+x）；
在Rt△FSG中，根據(jù)勾股定理得FG²=GS²+FS²，
即[2（1+x）]²=（4-2x）²+4²，
解得x=

7

6

，
∴A′G=FG-FA′=2（1+x）-x=

19

6

．
故答案為：

19

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查了中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，正方形、矩形的性質(zhì)，勾股定理，以及折疊的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及方程的思想，要求學(xué)生理解正方形是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心，借助圖形，利用勾股定理列方程的思路來解決問題，熟練掌握性質(zhì)與定理是解本題的關(guān)鍵．