Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=3cm，CB=4cm，設(shè)點P、Q為AB、CB上動點，它們分別從A、C同時出發(fā)向B點勻速移動，移動速度為1cm/秒，設(shè)P、Q移動時間為t秒（0≤t≤4）．
①當∠CPQ=90°時，求t的值．
②是否存在t，使△CPQ成為正三角形？若存在，求出t的值；若不存在，能否改變Q的運動速度（P的速度不變），使△CPQ成為正三角形？如何改變？并求出相應(yīng)的t值．

Answer 1

分析：①過P作MP⊥AC與M，作PN⊥CB于N，易得AB=5cm，PM∥BC，利用△APM∽△ACB的相似比可表示出MP=

4

5

t，AM=

3

5

t，則CM=3-

3

5

t，在Rt△PCM中利用勾股定理得到PC²=PM²+MC²=（

4

5

t）²+（3-

3

5

t）²=t²-

18

5

t+9；又Rt△CPN∽Rt△CQP，得到CP²=CN•CQ=

4

5

t•t，由此可得到關(guān)于t的一元二次方程，解方程即可得到t的值；
②假設(shè)存在t使△PCQ為正三角形，CN=

1

2

CQ=

1

2

t，而CN=MP，得到

4

5

t=

1

2

t，解得t=0不合題意；設(shè)Q的速度為x，則CQ=xt，若△CPQ為正三角形，CN=

1

2

CQ=

1

2

xt，而CN=MP=

4

5

t，可得到x=

8

5

，然后根據(jù)等邊三角形的高為邊長的

3

2

倍得到3-

3

5

t=

3

2

•

8

5

t，解方程求得滿足條件的t的值．

解答：解：①過P作MP⊥AC與M，作PN⊥CB于N，如圖，AP=CQ=t，
∵∠ACB=90°，CA=3cm，CB=4cm，
∴AB=5cm，PM∥BC，
∴△APM∽△ACB，
∴MP：BC=AM：AC=AP：AB，
∴MP=

4

5

t，AM=

3

5

t，
∴CM=3-

3

5

t，
在Rt△PCM中，PC²=PM²+MC²=（

4

5

t）²+（3-

3

5

t）²=t²-

18

5

t+9，
又CN=PM=

4

5

t，
∵∠CPQ=90°，
∴Rt△CPN∽Rt△CQP，
∴CP：CQ=CN：CP，即CP²=CN•CQ，
∴t²-

18

5

t+9=（

4

5

t）•t，整理得：t²-18t+45=0，
∴t₁=3（t₂=15舍去），
∴當∠CPQ=90°時，t的值為3；

②�。┘僭O(shè)存在t使△PCQ為正三角形．
∴PN平分CQ，即CN=

1

2

CQ=

1

2

t，
∵CN=MP，
∴

4

5

t=

1

2

t
∴t=0，
∴△PCQ不存在，
即△CPQ不可能為正三角形；
ⅱ）設(shè)Q的速度為x，則CQ=xt，
若△CPQ為正三角形，CN=

1

2

CQ=

1

2

xt，
而CN=PM，即

1

2

xt=

4

5

t，
∴x=

8

5

，
∴CQ=

8

5

t，
∵PN=

3

2

CQ，PN=CM，
∴3-

3

5

t=

3

2

•

8

5

t，
∴t=

20 3 -15

13

．
∴存在t，使△CPQ成為正三角形，
當Q的運動速度為

8

5

cm/秒（P的速度不變），使△CPQ成為正三角形，相應(yīng)的t值為

20 3 -15

13

．

點評：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；相似三角形對應(yīng)邊的比相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理．