Question

如圖，直線y=-x+20與x軸、y軸分別交于A、B兩點，動點P從A點開始在線段AO上以每秒3個長度單位的速度向原點O運動．動直線EF從x軸開始以每秒1個長度單位的速度向上平行移動（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于E、F點．連接FP，設動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為t秒．
（1）當t=1秒時，求梯形OPFE的面積．
（2）t為何值時，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？
（3）設t的值分別取t₁、t₂時（t₁≠t₂），所對應的三角形分別為△AF₁P₁和△AF₂P₂．試判斷這兩個三角形是否相似，請證明你的判斷．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線的性質(zhì)，求出A、B兩點的坐標，再根據(jù)點A的移動規(guī)律，得到AP的長，從而求出OP的長；
又因為EF=BE，用OB的長減去OE的長即可求出EF的長；從而利用梯形面積公式求出梯形OPFE面積．
（2）設OE=t，AP=3t，利用梯形面積公式，將梯形面積轉(zhuǎn)化為關于t的二次函數(shù)表達式，求二次函數(shù)的最大值即可；
（3）作FD⊥x軸于D，則四邊形OEFD為矩形．求出三角形各邊的長度表達式，計算出對應邊的比值，加上一個夾角相等，即可得到△AF₁P₁∽△AF₂P₂．

解答：解：設梯形OPFE的面積為S．（1）對于直線y=-x+20，當x=0時，y=20；當y=0時，x=20，
故A（20，0），B（0，20）；
∴OA=OB=20，∠A=∠B=45°．
當t=1時，OE=1，AP=3，
∴OP=17，EF=BE=19．
∴S=

1

2

（OP+EF）•OE=

1

2

×（17+19）=18．

（2）OE=t，AP=3t，
∴OP=20-3t，EF=BE=20-t．
∴S=

1

2

（OP+EF）•OE=

1

2

（20-3t+20-t）•t=-2t²+20t=-2（t-5）²+50．
∴當t=5（在0＜t＜

20

3

范圍內(nèi)）時，S_最大值=50．

（3）作FD⊥x軸于D，則四邊形OEFD為矩形．
∴FD=OE=t，AF=

2

FD=

2

t．
又AP=3t，
當t=t₁時，AF₁=

2

t₁，AP₁=3t₁；當t=t₂時，AF₂=

2

t₂，AP₂=3t₂；
∴

AF1

AF2

=

t1

t2

=

AP1

AP2

，又∠A=∠A，
∴△AF₁P₁∽△AF₂P₂．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，同時結合了動點問題和二次函數(shù)的最值，綜合性較強，是一道好題．