Question

如圖，AB⊥BC于B，AD⊥DC于D，∠BAD=120°，在BC、CD上分別找一點M、N，當△AMN周長最小時，∠MAN的度數(shù)是

 

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Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：根據(jù)要使△AMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，進而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″），然后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得出答案．

解答：解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值．作DA延長線AH，
∵∠DAB=120°，
∴∠HAA′=60°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，
∴∠MAN=60°
故答案為：60°．

點評：此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．