Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+9-b²（b為常數(shù)）經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與x軸交于另一點(diǎn)E．其頂點(diǎn)M在第一象限．
（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)A是該拋物線上位于x軸上方，且在其對(duì)稱軸左側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)；過點(diǎn)A作x軸的平行線交該拋物線于另一點(diǎn)D，再作AB⊥x軸于點(diǎn)B，DE⊥x軸于點(diǎn)C．
①當(dāng)線段AB、BC的長都是整數(shù)個(gè)單位長度時(shí)，求矩形ABCD的周長；
②求矩形ABCD的周長的最大值，并寫出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)；
③當(dāng)矩形ABCD的周長取得最大值時(shí)，它的面積是否也同時(shí)取得最大值？請(qǐng)判斷并說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線過原點(diǎn)，代入求得b值而求出二次函數(shù)解析式；
（2）設(shè)A點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則

3

2

＞m＞0，AB=3m-m²，BC=3-2m，矩形ABCD的周長=-2m²+2m+6．
①根據(jù)線段AB、BC的長都是整數(shù)個(gè)單位長度及

3

2

＞m＞0，確定m的值，從而求出矩形ABCD的周長；
②將-2m²+2m+6配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得出矩形ABCD的周長的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)；
③將矩形ABCD的周長取得最大值時(shí)的m的值代入它的面積表達(dá)式AB•BC=（3m-m²）（3-2m）中，計(jì)算出其值為2.5，然后在

3

2

＞m＞0的范圍內(nèi)找到一個(gè)m=

3

4

時(shí)，矩形ABCD的面積=2.53125＞

5

2

，從而得到當(dāng)矩形ABCD的周長取得最大值時(shí)，它的面積不能同時(shí)取得最大值．

解答：解：（1）由題意，代入原點(diǎn)到二次函數(shù)解析式
則9-b²=0，
解得b=±3，
由題意拋物線的對(duì)稱軸大于0，

b

2

＞0，
所以b=3，
所以解析式為y=-x²+3x；

（2）設(shè)A點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則

3

2

＞m＞0，
AB=3m-m²，BC=2（

3

2

-m）=3-2m，
∴矩形ABCD的周長=2（AB+BC）=2（-m²+m+3）=-2m²+2m+6．
①當(dāng)線段AB、BC的長都是整數(shù)個(gè)單位長度時(shí)，則
3m-m²＞0且為整數(shù)，3-2m＞0且為整數(shù)，
∴m=1．
∴矩形ABCD的周長=-2m²+2m+6=6；
②∵矩形ABCD的周長=-2m²+2m+6=-2（m²-m）+6=-2（m²-m+

1

4

-

1

4

）+6=-2（m-

1

2

）²+

13

2

，
∴當(dāng)m=

1

2

時(shí)，有最大值=

13

2

，
此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

1

2

，

5

4

）；
③當(dāng)矩形ABCD的周長取得最大值時(shí)，m=

1

2

，
此時(shí)，矩形ABCD的面積=AB•BC=（3m-m²）（3-2m）=

5

2

，不是最大值．
∵當(dāng)m=

3

4

時(shí)，矩形ABCD的面積=（3m-m²）（3-2m）=1.6875×1.5=2.53125＞

5

2

．
∴當(dāng)矩形ABCD的周長取得最大值時(shí)，它的面積不能同時(shí)取得最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．