Question

16．如圖1，△ABC是邊長(zhǎng)為8cm的等邊三角形，點(diǎn)D從B點(diǎn)出發(fā)沿B→A方向在線段BA上以acm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)沿C→B方向在線段CB上以bcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，D，E兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)A后，D，E兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）如圖2，若a=b=1，連接AE，CD，相交于點(diǎn)F，連BF
①求∠AFC的度數(shù)；
②當(dāng)AF=2CF時(shí)，求t的值
（2）如圖3，若a=2，b=1，連接DE，以DE為邊作等邊△DEM，使M，B在DE的兩側(cè)，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，連接OM，求OM的最小值．

Answer 1

分析 （1）①如圖1，由題可得BD=CE=t，易證△BDC≌△CEA，則有∠BCD=∠CAE，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求得∠EFC=60°，即可得到∠AFC=120°；
②延長(zhǎng)FD到G，使得FG=FA，連接GA、GB，根據(jù)△FAG是等邊三角形，△ABC是等邊三角形，即可判定△AGB≌△AFC，從而得出∠BGF=∠EFC=60°，得到EF∥GB，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得$\frac{CF}{FG}$=$\frac{CE}{EB}$，再根據(jù)AF=2CF，CE=t，BC=8，得出GF=2CF，BE=8-t，進(jìn)而得到$\frac{1}{2}$=$\frac{t}{8-t}$，解得t=$\frac{8}{3}$即可；
（2）連接AM，過(guò)D作DH⊥BC于H，根據(jù)SAS判定△ADM≌△HED，進(jìn)而得出∠DAM=∠EHD=90°，而∠DAO=60°，可得∠OAM=90°-60°=30°，因此當(dāng)OM⊥AM時(shí)，OM最短，此時(shí)，OM=$\frac{1}{2}$AO，故OM的最小值為2．

解答 解：（1）①如圖1，當(dāng)a=b=1時(shí)，BD=CE=t，
∵△ABC是邊長(zhǎng)為8cm的等邊三角形，
∴CB=AC，∠CBD=∠ACE=60°，
在△BDC和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠CBD=∠ACE}\\{CB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△CEA（SAS），
∴∠BCD=∠CAE，
∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°，
∴∠AFC=120°；

②如圖2，延長(zhǎng)FD到G，使得FG=FA，連接GA、GB，
∵∠AFG=∠EFC=60°，F(xiàn)G=FA，
∴△FAG是等邊三角形，
∴AG=AF=FG，∠AGF=∠GAF=60°．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠GAF=∠BAC=60°，
∴∠GAB=∠FAC．
在△AGB和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠GAB=∠FAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△AFC（SAS），
∴∠AGB=∠AFC=120°，
∴∠BGF=60°，
∴∠BGF=∠EFC=60°，
∴EF∥GB，
∴$\frac{CF}{FG}$=$\frac{CE}{EB}$，
又∵AF=2CF，CE=t，BC=8，
∴GF=2CF，BE=8-t，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{t}{8-t}$，
解得t=$\frac{8}{3}$，
∴當(dāng)AF=2CF時(shí)，t的值為$\frac{8}{3}$；

（2）如圖3，連接AM，過(guò)D作DH⊥BC于H，
∵當(dāng)a=2，b=1時(shí)，BD=2t，CE=t，而∠B=60°，AB=8，
∴BH=t，AD=8-2t，HE=8-t-t=8-2t，
∴DA=EH，
∵△DEM是等邊三角形，
∴DE=MD，∠EDM=60°，
∴∠ADM+∠BDE=∠HED+∠BDE=120°，
∴∠ADM=∠HED，
在△ADM和△HED中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=EH}\\{∠ADM=∠HED}\\{MD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△HED（SAS），
∴∠DAM=∠EHD=90°，而∠DAO=60°，
∴∠OAM=90°-60°=30°，
∴當(dāng)OM⊥AM時(shí)，OM最短，
∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，
∴AO=4，
此時(shí)，OM=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$×4=2．
故OM的最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理以及含30°角 的直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等邊三角形以及全等三角形，依據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算．解題時(shí)注意：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．