Question

如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線．如：平行四邊形的一條對線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線．

（1）三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有___；

（2）如圖1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延長DC到E，使CE＝AB，連接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ADE．請你給出這個結論成立的理由，并過點A作出梯形ABCD的面積等分線（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（3）如圖，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，S△ADC＞S△ABC，過點A能否作出四邊形ABCD的面積等分線？若能，請畫出面積等分線，并給出證明；若不能，說明理由．

 

Answer 1

 

（1）略

（2）略

（3）能

解析:（1）中線所在的直線．

（2）法一：連接BE，∵AB∥CE，AB＝CE，∴四邊形ABEC為平行四邊形．∴BE∥AC，

∴△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等，∴S△ABC＝S△AEC ．

∴S梯形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝S△ACD＋S△AEC＝S△AED ．

       

法二：設AE與BC相交于點F．∵AB∥CE，∴∠ABF＝∠ECF，∠BAF＝∠CEF．

又∵AB＝CE，∴△ABF≌△ECF．∴S梯形ABCD＝S四邊形AFCD＋S△ABF＝S四邊形AFCD＋S△ECF＝S△AED ．

過點A的梯形ABCD的面積等分線的畫法如圖①所示．

（3）能．連接AC，過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，連接AE．

∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等，∴S△ABC＝S△AEC ．

∴S梯形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝S△ACD＋S△AEC＝S△AED ．

∵S△ACD＞S△ABC ，∴面積等分線必與CD相交，取DE中點F，則直線AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線．作圖如圖②所示．