Question

（2013•沛縣一模）已知：如圖，?ABCD中，∠ABC的平分線交AD于E，∠CDA的平分線交BC于F．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）連接EF、BD，求證：EF與BD互相平分．

Answer 1

分析：（1）首先由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，AB=CD；∠A=∠C，∠ABC=∠CDA，再由條件∠ABC的平分線交AD于E，∠CDA的平分線交BC于F可得∠ABE=

1

2

∠ABC，∠CDF=

1

2

∠CDA，進(jìn)而得到∠ABE=∠CDF，再利用ASA定理可判定△ABE≌△CDF；
（2）首先根據(jù)△ABE≌△CDF可得AE=CF，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD=CB，AD∥BC，進(jìn)而得到DE=BF且DE∥BF，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊可證出四邊形BFDE是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形對角線互相平分可證出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，∠A=∠C，∠ABC=∠CDA，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，
∴∠ABE=

1

2

∠ABC，∠CDF=

1

2

∠CDA．
∴∠ABE=∠CDF，
再△ABE和△CDF中

∠A=∠C AB=CD ∠ABE=∠CDF

，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．

（2）證明：連接EF、DB，
∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=CB，AD∥BC，
∴DE=BF且DE∥BF．
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
∴EF與BD互相平分．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對角線互相平分．