Question

已知：如圖所示，C是直徑為AB的半圓O上一點(diǎn)，D為的中點(diǎn)，過D作AC的垂線，垂足為E，且交AB的延長(zhǎng)線于F．

(1)求證：EF是半圓O的切線．

(2)若⊙O的半徑為，EC∶ED=1∶2，求△AEF的周長(zhǎng)．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)證明：連接BC、OD， ∵AB是⊙O的直徑．∴∠ACB=90°， ∴BC⊥AE， ∵∠E=90°，∴FE⊥AE，∴BC∥EF， ∵D是的中點(diǎn)，∴OD⊥BC，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切線． (2)解：連接CO、BD， ∵EF切⊙O于D，∴∠CAD=∠DAB=∠EDC，∴tan∠DAB=tan∠EDC=． ∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°， 在Rt△ADB中，∵tan∠DAB=，tan∠DAB=，∴=． 設(shè)BD=x，則AD=2x(x＞0)． ∵⊙O半徑為，∴AB=2，由勾股定理得，即，∴x=2，x=－2(負(fù)值舍)． ∴AD=4，BD=2． ∵∠CAD=∠EDC，∴tan∠CAD=tan∠EDC=． ∴ED∶EA=1∶2，∴EA=2ED． 在Rt△AED中，由勾股定理，．即，∴ED=，∴AE=． ∵∠DAB=∠FDB，∠F公用，∴△FDB∽△FAD，∴． ∴DF=2BF． 由切割線定理得，即 ．∴BF=，DF=， ∴△AEF周長(zhǎng)為FD＋DE＋AF＋AB＋BF=．