如圖,矩形ABCD中,O是AC與BD的交點(diǎn),過點(diǎn)O的直線EF與AB、CD的延長線分別交于點(diǎn)E、F.
(1)求證:△BOE≌△DOF;
(2)當(dāng)EF與AC滿足什么條件時四邊形AECF是菱形,并證明你的結(jié)論.
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,AC和BD交于點(diǎn)O
∴AB∥CD; OB=OD   
∴∠OEB=∠OFD  
∵∠BOE=∠DOF     
∴△BOE≌△DOF  
(2)解:當(dāng)EF與AC垂直的時候四邊形AECF是菱形。
證明如下:
∵△BOE≌△DOF   
∴ BE="DF"
∵ AB=CD
∴AE=CF且AE∥CF
又∵EF⊥AC
∴ 四邊形AECF是菱形
(1)由矩形的性質(zhì):OB=OD,AE∥CF證得△BOE≌△DOF;
(2)當(dāng)EF⊥AC時,四邊形AECF是菱形.根據(jù)已知條件可證明四邊形AECF是平行四邊形,當(dāng)EF⊥AC,可根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形判定.
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