Question

（2011•邯鄲一模）（1）如圖1，四邊形ACDG與四邊形ECBH都是正方形，且B，C，D在一條直線上，連接DE并延長交線段AB于點F．
求證：AB=DE，AB⊥DE；
（2）如果將（1）中的兩個正方形換成兩個矩形，如圖2，且

AC

CD

=

BC

CE

=

3

，則AB與DE的數(shù)量關系與位置關系會發(fā)生什么變化？請說明你的看法和理由．
（3）如果將（1）中的兩個正方形換成兩個直角三角形，如圖3，∠BCE=∠ACD=90°，且

AC

CD

=

BC

CE

=k，且請直接寫出AB與DE的數(shù)量關系與位置關系．

Answer 1

分析：（1）證明△ABC≌△DEC，則可以得到AB=DE，然后證明∠EDC+∠ABC=90°，則依據(jù)三角形內角和定理證得：∠BFD=90°，證得AB⊥DE；
（2）利用相似三角形的判定得出△ABC∽△DEC，根據(jù)相似三角形的邊的比相等證得AB、DE的關系，與（1）的方法相同證得AB⊥DE；
（3）利用相似三角形的判定得出△ABC∽△DEC，與（2）的方法相同，即可求得．

解答：證明：（1）在△ABC和△DEC中，

AC=DC ∠ACB=∠DCE=90° BC=EC

，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．           
∴AB=DE，∠BAC=∠EDC．
∵∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠EDC+∠ABC=90°．
∴∠BFD=90°．
∴AB⊥DE．                        
（2）AB=

3

DE，AB⊥DE．               
∵

AC

CD

=

BC

CE

=

3

，∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ABC∽△DEC．
∴

AB

DE

=

3

，∠BAC=∠EDC．
∵∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠EDC+∠ABC=90°．
∴∠BFD=90°．
∴AB⊥DE．                           
（3）∵

AC

CD

=

BC

CE

=k，∠ACB=∠ACD
∴△ABC∽△DEC，
∴

AB

DE

=

AC

CD

=k，∠BAC=∠CDE，
又∵∠AEF=∠CED，AC⊥CD，
∴∠BAC+∠AEF=∠DEC+∠CDE=90°
∴∠AFE=90°，
∴AB⊥DE

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，理解相似與全等的關系，理解每個小題之間的聯(lián)系是關鍵．