Question

已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，過點(diǎn)A作直線MN⊥AC，點(diǎn)E是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
（1）如圖1，如果點(diǎn)E是射線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接CE交AB于點(diǎn)P．若AE為x，AP為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（2）在射線AM上是否存在一點(diǎn)E，使以點(diǎn)E、A、P組成的三角形與△ABC相似，若存在求AE的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，過點(diǎn)B作BD⊥MN，垂足為D，以點(diǎn)C為圓心，若以AC為半徑的⊙C與以ED為半徑的⊙E相切，求⊙E的半徑．

Answer 1

分析：（1）首先證明AM∥BC，△BCP∽△APE，可得AE：BC=AP：BP，然后根據(jù)題意代入相關(guān)數(shù)值即得y關(guān)于x的函數(shù)解析式．
（2）先假設(shè)存在點(diǎn)E，使△ABC∽△EAP，則有AB：BC=AE：AP，把第一問的結(jié)果代入可得到一個(gè)一元二次方程，解此方程看結(jié)果是否符合題意，合題意，則存在此點(diǎn)，否則不存在此點(diǎn)．
（3）此問要分情況討論：當(dāng)點(diǎn)E在射線AD上，⊙C與⊙E外切時(shí)；當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上，⊙C與⊙E外切時(shí)；當(dāng)點(diǎn)E在射線DA上，⊙C與⊙E內(nèi)切時(shí)；根據(jù)解直角三角形分別求解，不符合題意的解舍去．

解答：解：（1）∵AM⊥AC，∠ACB=90°∴AM∥BC，
∴

AE

BC

=

AP

BP

，（1分）
∵BC=6，AC=8，∴AB=10，（2分）
∵AE=x，AP=y，∴

x

6

=

y

10-y

，
∴y=

10x

6+x

（x＞0）；（4分）

（2）假設(shè)在射線AM上存在一點(diǎn)E，使以點(diǎn)E、A、P組成的三角形與△ABC相似；
∵AM∥BC∴∠B=∠BAE，
∵∠ACB=90°，∠AEP≠90°，
∴△ABC∽△EAP，（6分）
∴

AB

BC

=

AE

AP

（7分）
∴

10

6

=

x

10x 6+x

解得：x₁=

32

3

，x₂=0（舍去）（8分）
∴當(dāng)AE的長(zhǎng)為

32

3

時(shí)，△ABC∽△EAP；

（3）∵⊙C與⊙E相切，AE=x
①當(dāng)點(diǎn)E在射線AD上，⊙C與⊙E外切時(shí)，ED=x-6，EC=x-6+8=x+2，
在直角三角形AEC中，AC²+AE²=EC²
∴x²+8²=（x+2）²解得：x=15∴⊙E的半徑為9．（10分）
②當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上，⊙C與⊙E外切時(shí)，ED=6-x，EC=6-x+8=14-x，
在直角三角形AEC中，AC²+AE²=EC²，
∴x²+8²=（14-x）²解得：x=

33

7

∴⊙E的半徑為

9

7

．（12分）
③當(dāng)點(diǎn)E在射線DA上，⊙C與⊙E內(nèi)切時(shí)，ED=x+6，EC=x+6-8=x-2，
在直角三角形AEC中，AC²+AE²=EC²
∴x²+8²=（x-2）²解得：x=-15（舍去），
∴內(nèi)切不成立（14分）
∴當(dāng)⊙C與⊙E相切時(shí)，⊙E的半徑為9或

9

7

．

點(diǎn)評(píng)：此題難度較大，綜合考查函數(shù)、方程與圓的相切，三角形相似的判定與性質(zhì)、平行線性質(zhì)等知識(shí)．