Question

【題目】如圖1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過(guò)A的一條直線。且點(diǎn)B、C在AE的兩側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，試設(shè)明：

（1）BD=DE+CE；

（2）若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置（BD＜CE），其余條件不變時(shí)，則BD與DE、CE的關(guān)系如何？

（3）若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3位置（CE＜BD），其余條件不變時(shí)，則BD與DE、CE的關(guān)系 。（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）DE=BD-CE,理由見(jiàn)解析；（3）DE=BD-CE,理由見(jiàn)解析。

【解析】

（1）證明△ABD≌△CAE，即可證得BD=AE，AD=CE，而AE=AD+DE=CE+DE，即可證得；（2）（3）圖形變換了，但是（1）中的全等關(guān)系并沒(méi)有改變，因而BD與DE、CE的關(guān)系并沒(méi)有改變，利用（1）的方法即可快速證明。

解：（1）證明：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠EAC=90°，

又∵BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD+∠ABD=90°，

·∴∠ABD=∠EAC，

又∵AB=AC，

∴△ABD≌△CAE，

∴BD=AE，AD=CE，

又∵AE=AD+DE=CE+DE，

. ∴BD=DE+CE.

（2）BD=DE-CE,理由如下：

如圖2：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠EAC=90°，

又∵BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD+∠ABD=90°，

·∴∠ABD=∠EAC，

又∵AB=AC，

∴△ABD≌△CAE，

∴BD=AE，AD=CE，

又∵AE=DE-AD

. ∴BD=DE-CE.

(3) BD=DE-CE,理由如下：

如圖3：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠EAC=90°，

又∵BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD+∠ABD=90°，

·∴∠ABD=∠EAC，

又∵AB=AC，

∴△ABD≌△CAE，

∴BD=AE，AD=CE，

又∵AE=DE-AD=DE-CE，

. ∴BD=DE-CE.

同理可得，DE=BD+CE；（3）同理可得，DE=BD+CE.