Question

3．已知二次函數(shù)y=ax²+bx-3a經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），C（0，3），與x軸交于另一點(diǎn)B，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求此二次函數(shù)解析式；
（2）連接AC、CD、DB，求S_{四邊形ACDB}；
（3）在該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得S_△ABP=S_{四邊形ACDB}？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式中，列方程組解出即可；
（2）作輔助線，將四邊形ACDB的面積分成了三個圖形的面積，計算其和即可；
（3）先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)圖形和等量關(guān)系式S_△ABP=S_{四邊形ACDB}列式，解方程即可．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（-1，0），C（0，3）代入二次函數(shù)y=ax²+bx-3a中得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3a=0}\\{-3a=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴此二次函數(shù)解析式為：y=-x²+2x+3；
（2）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D（1，4），
由對稱性質(zhì)得：B（3，0），
過D作DE⊥x軸于E，
∴S_{四邊形ACDB}=S_△AOC+S_梯形OCDE+S_△DEB=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$（3+4）×1+$\frac{1}{2}$×（3-1）×4=9；
（3）存在，
設(shè)P（x，-x²+2x+3），
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵S_△ABP=S_{四邊形ACDB}，
∴$\frac{1}{2}$×4×|-x²+2x+3|=9，
①x²-2x-3=$\frac{9}{2}$，
x²-2x=$\frac{15}{2}$，
（x-1）²=$\frac{17}{2}$，
x=1±$\frac{\sqrt{34}}{2}$，
②x²-2x-3=-$\frac{9}{2}$，
x²-2x=-$\frac{3}{2}$，
（x-1）²=-$\frac{1}{2}$，
此方程無實數(shù)解，
當(dāng)x=1+$\frac{\sqrt{34}}{2}$時，y=-（1+$\frac{\sqrt{34}}{2}$-1）²+4=-$\frac{9}{2}$，
當(dāng)x=1-$\frac{\sqrt{34}}{2}$時，y=-（1-$\frac{\sqrt{34}}{2}$-1）²+4=-$\frac{9}{2}$，
∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1+$\frac{\sqrt{34}}{2}$，-$\frac{9}{2}$）或（1-$\frac{\sqrt{34}}{2}$，-$\frac{9}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、及拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、一元二次方程的解法、圖形面積，尤其是第三問，利用數(shù)形結(jié)合的思想，再根據(jù)解析式表示P點(diǎn)的坐標(biāo)，與方程相結(jié)合解決問題．