Question

（2012•朝陽）如圖已知P為⊙O外一點(diǎn)，PA為⊙O的切線，B為⊙O上一點(diǎn)，且PA=PB，C為優(yōu)弧

AB

上任意一點(diǎn)（不與A、B重合），連接OP、AB，AB與OP相交于點(diǎn)D，連接AC、BC．
（1）求證：PB為⊙O的切線；
（2）若tan∠BCA=

2

3

，⊙O的半徑為

13

，求弦AB的長．

Answer 1

分析：（1）連接OA，OB，根據(jù)AP為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到∠OAP為直角，由半徑OA=OB，已知AP=BP，以及公共邊OP，利用SSS得出△OAP≌△OBP，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠OBP為直角，即BP垂直于OB，可得出BP為圓O的切線；
（2）延長BO與圓交于點(diǎn)E，連接AE，利用同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠AEB=∠ACB，可得出tan∠AEB的值，由BE為圓O的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到∠BAE為直角，在直角三角形AEB中，設(shè)AB=2x，得到AE=3x，再由直徑BE的長，利用勾股定理得到關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出弦AB的長．

解答：（1）證明：連接OA，OB，如圖所示：

∵AP為圓O的切線，
∴∠OAP=90°，
在△OAP和△OBP中，

AP=BP(已知) OA=OB(半徑相等) OP=OP(公共邊)

，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
則BP為圓O的切線；
（2）解：延長線段BO，與圓O交于E點(diǎn)，連接AE，
∵BE為圓O的直徑，∴∠BAE=90°，
∵∠AEB和∠ACB都對(duì)

AB

，
∴∠AEB=∠ACB，
∴tan∠AEB=tan∠ACB=

2

3

，
設(shè)AB=2x，則AE=3x，
在Rt△AEB中，BE=2

13

，
根據(jù)勾股定理得：（2x）²+（3x）²=（2

13

）²，
解得：x=2或x=-2（舍去），
則AB=2x=4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的證明方法有兩種：有點(diǎn)連接，證垂直；無點(diǎn)作垂線，證明垂線段等于半徑．