Question

（2012•鹽城）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y=

1

4

x2+mx+n的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（1，-

3

4

），直線l經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)且與y軸垂直，垂足為Q．

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B處出發(fā)沿拋物線向上運(yùn)動(dòng)，其縱坐標(biāo)y₁隨時(shí)間t（t≥0）的變化規(guī)律為y₁=-

3

4

+2t．現(xiàn)以線段OP為直徑作⊙C．
①當(dāng)點(diǎn)P在起始位置點(diǎn)B處時(shí)，試判斷直線l與⊙C的位置關(guān)系，并說明理由；在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，直線l與⊙C是否始終保持這種位置關(guān)系？請說明你的理由．
②若在點(diǎn)P開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，直線l也向上平行移動(dòng)，且垂足Q的縱坐標(biāo)y₂隨時(shí)間t的變化規(guī)律為y₂=-1+3t，則當(dāng)t在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，直線l與⊙C相交？此時(shí)，若直線l被⊙C所截得的弦長為a，試求a²的最大值．

Answer 1

分析：（1）所求函數(shù)的解析式中有兩個(gè)待定系數(shù)，直接將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得解．
（2）①由于OP是⊙C的直徑，根據(jù)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)可表示出C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而能表示出C到直線l的距離；OP長易得，然后通過比較⊙C的半徑和C到直線l的距離，即可判定直線l與⊙C的位置關(guān)系．
②該題要分兩問來答，首先看第一問；該小題的思路和①完全一致，唯一不同的地方：要注意直線l與點(diǎn)C的位置關(guān)系（需要考慮到C到直線l的表達(dá)方式）．
在第二問中，a²最大，那么a最大，即直線l被⊙C截得的弦最長，此時(shí)圓心C應(yīng)在直線l上，根據(jù)該思路即可得解．

解答：解：（1）將點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（1，-

3

4

）分別代入y=

1

4

x²+mx+n中，得：

1 4 ×4+2m+n=0 1 4 +m+n=- 3 4

，
解得：

m=0 n=-1

，
∴拋物線的解析式：y=

1

4

x²-1；

（2）①將P點(diǎn)縱坐標(biāo)代入（1）的解析式，得：

1

4

x²-1=-

3

4

+2t，x=

8t+1

，
∴P（

8t+1

，-

3

4

+2t），
∴圓心C（

8t+1

2

，-

3

8

+t），
∴點(diǎn)C到直線l的距離：-

3

8

+t-（-1）=t+

5

8

；
而OP²=8t+1+（-

3

4

+2t）²，得OP=2t+

5

4

，半徑OC=t+

5

8

；
∴直線l與⊙C始終保持相切．
②Ⅰ、當(dāng)圓心C在直線l上時(shí)，-

3

8

+t=-1+3t，t=

5

16

；
此時(shí)直線l與⊙C相交；
  當(dāng)0＜t≤

5

16

時(shí)，C到直線l的距離：-

3

8

+t-（-1+3t）=

5

8

-2t＜t+

5

8

，
∴直線l與⊙C相交；
  當(dāng)t＞

5

16

時(shí)，C到直線l的距離：-1+3t-（-

3

8

+t）=2t-

5

8

，
若直線l與⊙C相交，則：2t-

5

8

＜t+

5

8

，t＜

5

4

；
  綜上，當(dāng)0＜t＜

5

4

時(shí)，直線l與⊙C相交；
Ⅱ、∵0＜t＜

5

4

時(shí)，圓心C到直線l的距離為d=|2t-

5

8

|，又半徑為r=t+

5

8

，
∴a²=4（r²-d²）=4[（t+

5

8

）²-|2t-

5

8

|²]=-12t²+15t，
∴t=

5

8

時(shí)，a的平方取得最大值為

75

16

．

點(diǎn)評：該題是函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題，其中涉及直線與圓的位置關(guān)系等綜合知識(shí)；在處理此類問題時(shí)，要注意尋找關(guān)鍵點(diǎn)以及分段進(jìn)行討論，以免出現(xiàn)漏解．