Question

如圖，已知△ABC中，AD為BC邊上中線，E為AC上一點，BE與AD交于F，若AE＝EF 求證：AC＝BF 證明：如圖，延長FD交N，使DN＝DF，連結CN． 在△BDF和△CDN中 ∴△________≌△________． ∴∠3＝∠N，BF＝CN ∵AE＝FE，∴∠________＝∠________ ∴∠3＝∠2∴∠1＝∠N ∴________＝________∴BF＝AC 閱讀后回答下列問題： (1) 請在上述證明的橫線上填寫恰當?shù)牟襟E； (2) 上述證明過程還有別的輔助線作法嗎？若有，試選出一種________； (3) 若把AE＝EF換成AD平行于∠BFC的平分線EG，其他條件不變，問原結論是否成立？請給予證明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	本例屬閱讀理解，首先要讀懂題意，其次，要根據(jù)要求作出相應的回答．根據(jù)題意，由BD＝CD，∠BDF＝∠CDN，DN＝DF可證△BDF≌△CPN(SAS)，由△BDF≌△CND得出∠3＝∠N，由AE＝FE 　　∴得出∠1＝∠2，∴∠1＝∠N 　　最后得到AC＝CN．
(2)	上述證明可考慮過B作AC的平行線． 　　設過B作AC平行線交AD延長線于點K，則在∠1＝∠K，又∠3＝∠2　∠1＝∠2 　　∴得到∠3＝∠K　∴BF＝BG 　　從而轉化可證BK＝AC 　　由于D是BC中點，顯然有△ACD≌△GBD， 　　∴BG＝AC問題得證．
(3)	如圖，把AE＝EF換成AD平行于∠BEC的平分線EG，其他條件不變，原結論仍然成立． 　　證明：∵EG∥AD 　　∴∠CEG＝∠1　∠BEG＝∠3 　　又∠2＝∠3　∠BEG＝∠CEG 　　∴∠1＝∠2 　　延長AD至N，過C作CN∥BE 　　則∠3＝∠N　∴∠1＝∠N　∴AC＝CN 　　∵D是BC中點，∴BD＝DC 　　在△BDF和△CDN中 　　∴△BDF≌△CDN(AAS) 　　∴BF＝CN　∴AC＝BF