Question

下列圖①、②、③中的陰影部分分別是以直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)所作的正多邊形；圖④中的陰影部分分別是以直角三角形的三邊為直徑所作的半圓．根據(jù)勾股定理可知：分別以直角三角形的兩條直角邊為邊長(zhǎng)的正方形面積之和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積（如圖②）
（1）類似的結(jié)論，對(duì)于圖②的結(jié)論，對(duì)于圖①、③、④是否成立？如果成立，請(qǐng)選擇其中一個(gè)圖形進(jìn)行證明．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，你能提出一般性的結(jié)論嗎？寫(xiě)出你的結(jié)論并給予證明．

Answer 1

（1）在圖①、③、④中，類似圖②的仍成立；
證明：在圖①中，設(shè)兩條直角邊a、b為一邊的正三角形的面積分別為S₁、S₂，以斜邊c為一邊的正三角形的面積為S₃，則S1=

1

2

a?(

3

2

a)=

3

2

a2，
S2=

1

2

b?(

3

2

b)=

3

2

b2，
S₃=

1

2

c?（

3

2

c）=

3

2

c²，
∴S₁+S₂=

3

2

（a²+b²）=

3

2

c²=S₃．

（2）結(jié)論：如果分別以直角三角形的三邊為對(duì)應(yīng)邊所作的三個(gè)圖形相似，
那么其兩條直角邊上的圖形面積之和等于斜邊上圖形的面積．
證明：設(shè)以兩直角邊a、b為一邊的圖形的面積分別為S₁、S₂，以斜邊c為一邊的圖形的面積為S₃，
∵分別以a、b、c為對(duì)應(yīng)邊的三個(gè)圖形是相似圖形，
∴

S1

S3

=

a2

c2

，

S2

S3

=

b2

c2

，（相似圖形面積之比等于相似比的平方）
∴

S1

S3

+

S2

S3

=

a2

c2

+

b2

c2

，

S1+S2

S3

=

a2+b2

c2

=

c2

c2

=1，
∴S₁+S₂=S₃．