Question

4．（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明∠A+∠B=∠C+∠D．
（2）閱讀下面的內容，并解決后面的問題：
如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P的度數(shù)．
解：∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
由（1）的結論得：$\left\{\begin{array}{l}{∠P+∠3=∠1+∠B①}\\{∠P+∠2=∠4+∠D②}\end{array}\right.$
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P=$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）=26°．
①如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請猜想∠P的度數(shù)，并說明理由．
②在圖4中，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關系，直接寫出結論，無需說明理由．
③在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關系，直接寫出結論，無需說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據三角形的內角和等于180°列式整理即可得證；
（2）根據角平分線的定義可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根據（1）的結論列出整理即可得解；
①表示出∠PAD和∠PCD，再根據（1）的結論列出等式并整理即可得解；
②根據四邊形的內角和等于360°可得（180°-∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°-∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；
③根據（1）的結論∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．

解答 解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜，
∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）①∠P=26゜．
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4
由（1）的結論得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ①，∠PAB+∠P=∠PCB+∠B ②，
∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，
∴∠PAB=∠2，
∴∠2+∠P=∠3+∠B  ③，
①+③得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，
∴∠P=$\frac{1}{2}（$∠B+∠D ）=26°．

②如圖4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴（180°-2∠1）+∠B=（180°-2∠4）+∠D，
在四邊形APCB中，（180°-∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，
在四邊形APCD中，∠2+∠P+（180°-∠3）+∠D=360°，
∴2∠P+∠B+∠D=360°，
∴∠P=180°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）；

③如圖5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵（∠1+∠2）+∠B=（180°-2∠3）+∠D，
∠2+∠P=（180°-∠3）+∠D，
∴2∠P=180°+∠D+∠B，
∴∠P=90°+$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）．

點評 本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，準確識圖并運用好“8字形”的結論，然后列出兩個等式是解題的關鍵，用阿拉伯數(shù)字加弧線表示角更形象直觀．