Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，過上一點T作⊙O的切線TC，且TC⊥AD于點C．

（1）若∠DAB=50°，求∠ATC的度數；

（2）若⊙O半徑為2，CT=，求AD的長．

Answer 1

【答案】(1)、65°；(2)、2.

【解析】

試題分析：(1)、連接OT，根據同角的余角相等得出∠CAD=∠ATO，進而得出∠DAB=2CAT，解答即可；(2)、過O作OE⊥AC于E，連接OT、OD，得出矩形OECT，求出OT=CE，根據垂徑定理求出DE，根據矩形性質求出OT=CT，根據勾股定理求出即可．

試題解析：(1)、連接OT，如圖1：

∵TC⊥AD，⊙O的切線TC， ∴∠ACT=∠OTC=90°， ∴∠CAT+∠CTA=∠CTA+∠ATO， ∴∠CAT=∠ATO，

∵OA=OT， ∴∠OAT=∠ATO， ∴∠DAB=2∠CAT=50°， ∴∠CAT=25°， ∴∠ATC=90°﹣25°=65°；

(2)、過O作OE⊥AC于E，連接OT、OD，如圖2：

∵AC⊥CT，CT切⊙O于T， ∴∠OEC=∠ECT=∠OTC=90°， ∴四邊形OECT是矩形，

∴OT=CE=OD=2， ∵OE⊥AC，OE過圓心O， ∴AE=DE=AD， ∵CT=OE=，

在Rt△OED中，由勾股定理得：ED=1， ∴AD=2．