Question

（1）如圖1，已知AD是△ABC的中線，∠ADC=45°，把△ADC沿AD所在直線對折，點C落在點E的位置（如圖1），則∠EBC等于________度．
（2）如圖2，有一直角三角形紙片，兩直角邊AC=3，BC=4，將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長．

Answer 1

解：（1）依題意，得∠EDA=∠ADC=45°，即∠EDC=90°，
又∵DC=DE，AD為△ABC的中線，
∴BD=DC，即BD=DE，△BDE為等腰直角三角形，
∴∠EBC=45°；

（2）令CD=x，則DB=4-x，
由于是直角三角形且是折疊，所以AB=5，AE=AC=3，
DE=x，EB=2，因為∠AED=∠C=90°，
故在Rt△BDE中運用勾股定理得：
（4-x）²=2²+x²，
16-8x=4，解得x=，即CD=．
分析：（1）由折疊的性質(zhì)可知∠EDA=∠ADC=45°，即∠EDC=90°，DC=DE，又AD為△ABC的中線，故BD=DC，即BD=DE，△BDE為等腰直角三角形，可得∠EBC=45°；
（2）由折疊的性質(zhì)可知DE=CD，AC=AE，∠AED=∠C=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理求AB，由BE=AB-AE，設(shè)CD=DE=x，則BD=4-x，在Rt△BDE中，由勾股定理求x即可．
點評：本題考查了折疊的性質(zhì)．折疊前后，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，結(jié)合勾股定理答題．