Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，半圓直徑為OC，半圓圓心D的坐標(biāo)為（0，2），四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）．
（1）若過(guò)點(diǎn)P（2

3

，0）且與半圓D相切于點(diǎn)F的切線分別與y軸和BC邊交于點(diǎn)H與點(diǎn)E，求切線PF所在直線的解析式；
（2）若過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B的切線分別與半圓相切于點(diǎn)P₁和P₂（點(diǎn)P₁、P₂與點(diǎn)O、C不重合），請(qǐng)求P₁、P₂點(diǎn)的坐標(biāo)并說(shuō)明理由．（注：第（2）問(wèn)可利用備用圖作答）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出切線PH所在直線的解析式，過(guò)E點(diǎn)作ET⊥x軸于點(diǎn)T，連接DP、DF，則DF⊥PE，構(gòu)造出直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線過(guò)P、E兩點(diǎn)，列出方程組求出未知數(shù)的值，進(jìn)而求出切線的解析式；
（2）分當(dāng)k＜0，設(shè)過(guò)點(diǎn)A且與半圓相切于P₁點(diǎn)的切線方程為y=k₁x+b₁，P₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁），切線與邊BC交于點(diǎn)S，過(guò)點(diǎn)S作ST₁⊥x軸于點(diǎn)T₁．利用三角形相似求出P₁點(diǎn)的坐標(biāo)．
k＞0時(shí)，據(jù)圓的對(duì)稱性知P₂點(diǎn)是P₁點(diǎn)關(guān)于直線y=2對(duì)稱的點(diǎn)，從而可得P₂點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)切線PH所在直線的解析式為y=kx+b．（1分）
解法一：設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x_E，4），過(guò)E點(diǎn)作ET⊥x軸于點(diǎn)T，連接DP、DF，則DF⊥PE，
在Rt△DOP和Rt△DFP中，∵OP=PF，OD=DF，∴△DOP≌△DFP．
在Rt△DOP中，tan∠DPO=

2

2 3

=

3

3

．
∴∠DPO=30°，從而知∠OPE=60度．
在Rt△EPT中，可求得PT=

4 3

3

，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（

2 3

3

，4）．（4分）
∵直線過(guò)P、E兩點(diǎn)，∴

2 3 k+b=0 2 3 3 k+b=4

解方程組，得

k=- 3 b=6

∴切線PF所在直線的解析式為y=-

3

x+6．（6分）
解法二：∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2

3

，0），且直線y=kx+b過(guò)點(diǎn)P，
∴2

3

k+b=0，b=-2

3

k．
設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x_E，4），過(guò)E點(diǎn)作ET⊥x軸于點(diǎn)T．
∵切線過(guò)E點(diǎn)，
∴kx_E+b=4，xE=

1

k

（4-b）．
∵EC=EF，PF=PO，
∴PE=EF+FP．（4分）
在Rt△ETP中，PE²=ET²+PT²，
∴[

1

k

（4-b）+2

3

]²=4²+[2

3

-

1

k

（4-b）]²，解方程，得k=-

3

，b=6．
∴切線PF所在直線的解析式為y=-

3

x+6．（6分）

（2）如備用圖，

（�。┊�(dāng)k＜0時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)A且與半圓相切于P₁點(diǎn)的切線方程為y=k₁x+b₁，P₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁），切線與邊BC交于點(diǎn)S，過(guò)點(diǎn)S作ST₁⊥x軸于點(diǎn)T₁．
同上理，可得b₁=-6k₁，∴[

1

k1

（4-b₁）+6]²=4²+[6-

1

k1

（4-b₁）]²，
解方程，得k₁=-

3

4

，b₁=

9

2

．（8分）
∵直線y=k₁x+b₁與邊BC交于點(diǎn)S（x₂，4），
∴4=-

3

4

x₂+

9

2

，解方程，得x₂=

2

3

．
∵

SA

P1A

=

ST1

y1

，
∴（

2

3

+6）y₁=6×4，解得y₁=

18

5

，代入y=-

3

4

x+

9

2

，解得x₁=

6

5

．
∴所求滿足條件的P₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（

6

5

，

18

5

）．（10分）
（ⅱ）當(dāng)k＞0時(shí)，據(jù)圓的對(duì)稱性知P₂點(diǎn)是P₁點(diǎn)關(guān)于直線y=2對(duì)稱的點(diǎn)，從而可得P₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（

6

5

，

2

5

）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題難度很大，把一次函數(shù)，圓，三角形的知識(shí)結(jié)合起來(lái)，綜合性很強(qiáng)，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求出結(jié)論．