Question

19．已知∠AOB=90°，∠COD=30°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
（1）如圖1，當OB、OC重合時，求∠EOF的度數．
（2）當∠COD從圖1所示位置繞點O順時針旋轉n°（0＜＜90）時，如圖2，∠AOE-∠BOF的值是否為定值？若是定值，求出∠AOE-∠BOF的值，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據角平分線的定義知∠EOB=$\frac{1}{2}$∠AOB、∠BOF=$\frac{1}{2}$∠COD，再根據∠EOF=∠EOB+∠BOF可得答案；
（2）由題意知∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+n°、∠BOD=∠BOC+∠COD=n°+30°，根據角平分線的定義得$∠AOE=\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{90°+n°}{2}$、∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{n°+30°}{2}$，代入計算可得．

解答 解：（1）∵OE平分∠AOC，
∴∠EOB=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∵OF平分∠BOD，
∴∠BOF=$\frac{1}{2}$∠COD，
∴∠EOF=∠EOB+∠BOF
=$\frac{1}{2}$∠AOB+$\frac{1}{2}$∠COD
=$\frac{1}{2}$×90°+$\frac{1}{2}$×30°
=60°；

（2）是定值，
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+n°，
∠BOD=∠BOC+∠COD=n°+30°，
∴$∠AOE=\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{90°+n°}{2}$，
∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{n°+30°}{2}$，
∴∠AOE-∠BOF=$\frac{90°+n°}{2}$-$\frac{n°+30°}{2}$=30°，
∴∠AOE-∠BOF是定值．

點評 本題主要考查角的計算和角平分線的定義，熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵．