Question

（2012•自貢）如圖，拋物線l交x軸于點A（-3，0）、B（1，0），交y軸于點C（0，-3）．將拋物線l沿y軸翻折得拋物線l₁．
（1）求l₁的解析式；
（2）在l₁的對稱軸上找出點P，使點P到點A的對稱點A₁及C兩點的距離差最大，并說出理由；
（3）平行于x軸的一條直線交拋物線l₁于E、F兩點，若以EF為直徑的圓恰與x軸相切，求此圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）首先求出翻折變換后點A、B所對應點的坐標，然后利用待定系數法求出拋物線l₁的解析式；
（2）如圖2所示，連接B₁C并延長，與對稱軸x=1交于點P，則點P即為所求．利用軸對稱的性質以及三角形三邊關系（三角形兩邊之差小于第三邊）可以證明此結論．為求點P的坐標，首先需要求出直線B₁C的解析式；
（3）如圖3所示，所求的圓有兩個，注意不要遺漏．解題要點是利用圓的半徑表示點F（或點E）的坐標，然后代入拋物線的解析式，解一元二次方程求出此圓的半徑．

解答：解：（1）如圖1所示，設經翻折后，點A、B的對應點分別為A₁、B₁，
依題意，由翻折變換的性質可知A₁（3，0），B₁（-1，0），C點坐標不變，
因此，拋物線l₁經過A₁（3，0），B₁（-1，0），C（0，-3）三點，
設拋物線l₁的解析式為y=ax²+bx+c，則有：

9a+3b+c=0 a-b+c=0 c=-3

，
解得a=1，b=-2，c=-3，
故拋物線l₁的解析式為：y=x²-2x-3．

（2）拋物線l₁的對稱軸為：x=-

b

2a

=1，
如圖2所示，連接B₁C并延長，與對稱軸x=1交于點P，則點P即為所求．
此時，|PA₁-PC|=|PB₁-PC|=B₁C．
設P′為對稱軸x=1上不同于點P的任意一點，則有：
|P′A₁-P′C|=|P′B₁-P′C|＜B₁C（三角形兩邊之差小于第三邊），
故|P′B₁-P′C|＜|PA₁-PC|，即|PA₁-PC|最大．
設直線B₁C的解析式為y=kx+b，則有：

-k+b=0 b=-3

，解得k=b=-3，
故直線B₁C的解析式為：y=-3x-3．
令x=1，得y=-6，
故P（1，-6）．

（3）依題意畫出圖形，如圖3所示，有兩種情況．
①當圓位于x軸上方時，設圓心為D，半徑為r，
由拋物線及圓的對稱性可知，點D位于對稱軸x=1上，
則D（1，r），F(xiàn)（1+r，r）．
∵點F（1+r，r）在拋物線y=x²-2x-3上，
∴r=（1+r）²-2（1+r）-3，化簡得：r²-r-4=0
解得r₁=

17 +1

2

，r₂=

- 17 +1

2

（舍去），
∴此圓的半徑為

17 +1

2

；
②當圓位于x軸下方時，同理可求得圓的半徑為

17 -1

2

．
綜上所述，此圓的半徑為

17 +1

2

或

17 -1

2

．

點評：本題考查內容包括二次函數的圖象與性質、待定系數法、翻折變換、軸對稱的性質、三角形三邊關系、圓的相關性質等，涉及考點較多，有一定的難度．第（2）問中，注意是“兩線段之差最大”而不是“兩線段之和最大”，后者比較常見，學生們已經有大量的訓練基礎，而前者接觸較少，但二者道理相通；第（3）問中，首先注意圓有2個，不要丟解，其次注意利用圓的半徑表示點的坐標，運用方程的思想求出圓的半徑．