在平面直角坐標(biāo)系中,A(-1,0),B(3,0).
(1)若拋物線(xiàn)過(guò)A,B兩點(diǎn),且與y軸交于點(diǎn)(0,-3),求此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)如圖,小敏發(fā)現(xiàn)所有過(guò)A,B兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)如果與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,M為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn),那么△ACM與△ACB的面積比不變,請(qǐng)你求出這個(gè)比值;
(3)若對(duì)稱(chēng)軸是AB的中垂線(xiàn)l的拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)E,F(xiàn),與y軸交于點(diǎn)C,過(guò)C作CP∥x軸精英家教網(wǎng)交l于點(diǎn)P,M為此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn).若四邊形PEMF是有一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形,求此拋物線(xiàn)的解析式.
分析:(1)由于拋物線(xiàn)過(guò)A,B兩點(diǎn),且與y軸交于點(diǎn)(0,-3),可用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式,再求出頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)先設(shè)出過(guò)A,B兩點(diǎn)拋物線(xiàn)的解析式,作MD⊥x軸于D,再分別求出A、B、C、M各點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)圖形求各三角形的面積,最后由三角形之間的和差關(guān)系△ACM的面積進(jìn)行計(jì)算;
(3)因?yàn)橐阎獟佄锞(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及與y軸的交點(diǎn),可設(shè)出拋物線(xiàn)的解析式,由于不明確拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向,故應(yīng)分類(lèi)討論.在進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí)還要注意討論哪個(gè)角為60°,不要漏解.
解答:解:(1)設(shè)過(guò)拋物線(xiàn)A,B兩點(diǎn),且與y軸交于點(diǎn)(0,-3),的拋物線(xiàn)解析式為y=ax2+bx+c,
把A(-1,0),B(3,0),點(diǎn)(0,-3)代入
a-b+c=0
9a+3b+c=0
c=-3
,
解得
a=1
b=-2
c=-3
,
故此拋物線(xiàn)的解析式為y=x2-2x-3,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4);

(2)由題意,設(shè)y=a(x+1)(x-3),即y=ax2-2ax-3a,
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,-3a),M(1,-4a),精英家教網(wǎng)
∴S△ACB=
1
2
×4×|-3a|=6|a|,
而a>0,
∴S△ACB=6a.
作MD⊥x軸于D,
又S△ACM=S△ACO+SOCMD-S△AMD=
1
2
•1•3a+
1
2
(3a+4a)-
1
2
•2•4a=a,
∴S△ACM:S△ACB=1:6;

(3)①當(dāng)拋物線(xiàn)開(kāi)口向上時(shí),
設(shè)y=a(x-1)2+k,
即y=ax2-2ax+a+k,
有菱形可知|a+k|=|k|,a+k>0,k<0,精英家教網(wǎng)
∴k=-
a
2
,
∴y=ax2-2ax+
a
2
,
∴|EF|=
(x2+x1)2-4x1x2
=
2

記l與x軸交點(diǎn)為D,
若∠PEM=60°,則∠FEM=30°,MD=DE•tan30°=
6
6
,
∴k=-
6
6
,a=
6
3
,
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=
1
3
6
x2-
2
3
6
x+
6
6

若∠PEM=120°,則∠FEM=60°,MD=DE•tan60°=
6
2

∴k=-
6
2
,a=
6
,
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=
6
x2-2
6
x+
6
2

②當(dāng)拋物線(xiàn)開(kāi)口向下時(shí),同理可得y=-
1
3
6
x2+
2
3
6
x-
6
6
,
y=-
6
x2+2
6
x-
6
2
點(diǎn)評(píng):此題比較復(fù)雜,綜合性較強(qiáng),考查的是二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn),及三角形的面積,注意某個(gè)圖形無(wú)法解答時(shí),常常放到其他圖形中,利用圖形間的“和差”關(guān)系求解.在解(3)時(shí)一定要分類(lèi)討論.
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-7

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2
2

(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式;
(2)作AC⊥AD,AC交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C,求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線(xiàn)AC的函數(shù)解析式;
(3)在(2)的條件下,在x軸上方的拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P,使△APC的面積最大?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△APC的最大面積;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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0°(或360°的整數(shù)倍)
,k=
2

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