如圖,已知直線y=-m(x-4)(m>0)與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),以O(shè)A為直徑作半圓,圓心為C.過A作x軸的垂線AT,M是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)(與O點(diǎn)不重合),過M點(diǎn)作半圓的切線交直線AT于N,交AB于F,切點(diǎn)為P.連精英家教網(wǎng)接CN、CM.
(1)證明:∠MCN=90°;
(2)設(shè)OM=x,AN=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(3)若OM=1,當(dāng)m為何值時(shí),直線AB恰好平分梯形OMNA的面積.
分析:(1)如圖推出AT,OM是⊙C的切線.得出∠CMN=
1
2
∠OMN,∠CNM=
1
2
∠ANM,根據(jù)∠CMN+∠CNM=90°,求出∠MCN;
(2)由1推出∠1=∠3,證明Rt△MOC∽R(shí)t△CAN,利用線段比求出點(diǎn)A的坐標(biāo),從而求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(3)因?yàn)橹本AB平分梯形ANMO的面積推出FG的長.求出直線MN的解析式后因?yàn)辄c(diǎn)F在直線MN上,易求點(diǎn)F的坐標(biāo).然后又因?yàn)辄c(diǎn)F在直線y=-m(x-4)求出m值.
解答:證明:(1)∵AT⊥AO,OM⊥AO,AO是⊙C的直徑,
∴AT、OM是⊙C的切線,
又∵M(jìn)N切⊙C于點(diǎn)P,
∴∠CMN=
1
2
∠OMN,∠CNM=
1
2
∠ANM,
∵OM∥AN,
∴∠ANM+∠OMN=180°,
∴∠CMN+∠CNM=
1
2
∠OMN+
1
2
∠ANM=
1
2
(∠OMN+
1
2
∠ANM)=90°,
∴∠MCN=90°;

解:(2)由(1)可知:∠1+∠2=90°,而∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3;
∴Rt△MOC∽R(shí)t△CAN,
OM
AC
=
OC
AN
,
∵直線y=-m(x-4)交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,
∴0=-m(x-4),
∴x=4,
∴A(4,0),
∴AC=CO=2,
∵OM=x,AN=y,
x
2
=
2
y

∴y=
4
x
;

(3)精英家教網(wǎng)
∵OM=1,
∴AN=y=4,此時(shí)S四邊形ANMO=10,
∵直線AB平分梯形ANMO的面積,
∴△ANF的面積為5過點(diǎn)F作FG⊥AN于G,則
1
2
FG•AN=5,
∴FG=
5
2
,
∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為4-
5
2
=
3
2
,
∵M(jìn)(0,1),N(4,4),
∴直線MN的解析式為y=
3
4
x+1,
∵F點(diǎn)在直線MN上,
∴F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y=
17
8
,
∴F(
3
2
,
17
8
),
∵點(diǎn)F又在直線y=-m(x-4)上,
17
8
=-m(
3
2
-4),
∴m=
17
20
點(diǎn)評(píng):本題考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及三角形的面積計(jì)算公式,難度中等.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

16、如圖,已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O,∠COE是直角,OF平分∠AOE.
(1)寫出∠AOC與∠BOD的大小關(guān)系:
相等
,判斷的依據(jù)是
等角的補(bǔ)角相等

(2)若∠COF=35°,求∠BOD的度數(shù).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

5、如圖,已知直線l1∥l2,AB⊥CD,∠1=30°,則∠2的度數(shù)為(  )

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知直線l1y=
2
3
x+
8
3
與直線 l2:y=-2x+16相交于點(diǎn)C,直線l1、l2分別交x軸于A、B兩點(diǎn),矩形DEFG的頂點(diǎn)D、E分別在l1、l2上,頂點(diǎn)F、G都在x軸上,且點(diǎn)G與B點(diǎn)重合,那么S矩形DEFG:S△ABC=
 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•懷化)如圖,已知直線a∥b,∠1=35°,則∠2=
35°
35°

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知直線m∥n,則下列結(jié)論成立的是( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案