函數(shù)y=x2-ax+
1
4
(a-1)
,其中a為任意實數(shù),則該函數(shù)的圖象在x軸上截得的最短線段的長度為
3
2
3
2
分析:設函數(shù)y=x2-ax+
1
4
(a-1)與x軸的交點坐標分別為(x1,0),(x2,0),則該函數(shù)的圖象在x軸上截得的最短線段的長度為|x1-x2|.欲求|x1-x2|的最小值,需要根據(jù)關于x一元二次方程
x2-ax+
1
4
(a-1)=0的根與系數(shù)的關系與代數(shù)式的變形相結合求得(x1-x22=(x1+x22-4x1•x2=a2-a+1=(a-
1
2
2+
3
4
,最后根據(jù)二次函數(shù)的最值的求法即可解得|x1-x2|的最小值.
解答:解:設函數(shù)y=x2-ax+
1
4
(a-1)與x軸的交點坐標分別為(x1,0),(x2,0),則
x1、x2是一元二次方程x2-ax+
1
4
(a-1)=0的兩個實數(shù)根,
由韋達定理得,x1+x2=a,x1•x2=
1
4
(a-1),
則(x1-x22=(x1+x22-4x1•x2=a2-a+1=(a-
1
2
2+
3
4

∵a為任意實數(shù),∴(a-
1
2
2≥0,
∴(x1-x22
3
4

∴|x1-x2|≥
3
2
,
∴|x1-x2|的最小值是
3
2
,即該函數(shù)的圖象在x軸上截得的最短線段的長度為
3
2

故答案是:
3
2
點評:本題考查了拋物線與x軸的交點問題.利用二次函數(shù)與一元二次方程間的關系是解答此類題目常用的方法.
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3
3

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x2-ax+1
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-2≤a≤2
-2≤a≤2

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(1)y1=y2,請說明a必為奇數(shù);
(2)設a=11,求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值;
(3)對于給定的正實數(shù)a,是否存在n,使△ABC是以AC為底邊的等腰三角形?如果存在,求n的值(用含a的代數(shù)式表示);如果不存在,請說明理由.

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