Question

（2007•新疆）已知直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=DC=AB，E是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形AECD是正方形；
（2）求∠B的度數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)E是AB的中點(diǎn)，得AE=BE，因?yàn)锳B∥DC，所以四邊形AECD是平行四邊形，而∠DAB=90°，所以四邊形AECD是矩形，又因?yàn)锳D=CD，所以四邊形AECD是正方形；
（2）根據(jù)（1）得到∠CAE=45°，而E是AB的中點(diǎn)，CE⊥AE，所以CE是AB的垂直平分線，最后∠B的度數(shù)就可求．
解答：（1）證明：∵E是AB的中點(diǎn)，
∴AE=AB=DC，（1分）
∵AB∥DC，
∴AE∥DC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，（3分）
∵∠DAE=90°，
∴平行四邊形AECD是矩形，（4分）
∵AD=DC，
∴矩形AECD是正方形．（5分）

（2）解：∵四邊形AECD是正方形，
∴∠CAE=45°，（6分）
∵E是AB的中點(diǎn)，CE⊥AE，
∴CE垂直平分AB，
∴△ACB是等腰三角形，（7分）
∴∠B=∠CAE=45°（8分）
點(diǎn)評：此題考查正方形的性質(zhì)及判定方法等的綜合運(yùn)用．