如圖①所示,直線l1:y=3x+3與x軸交于B點(diǎn),與直線l2交于y軸上一點(diǎn)A,且l2與x軸的交點(diǎn)為C(1,0).
(1)求證:∠ABC=∠ACB;
(2)如圖②所示,過x軸上一點(diǎn)D(-3,0)作DE⊥AC于E,DE交y軸于F點(diǎn),交AB于G點(diǎn),求G點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)如圖③所示,將△ABC沿x軸向左平移,AC邊與y軸交于一點(diǎn)P(P不同于A、C兩點(diǎn)),過P點(diǎn)作一直線與AB的延長線交于Q點(diǎn),與x軸交于M點(diǎn),且CP=BQ,在△ABC平移的過程中,線段OM的長度是否發(fā)生變化?若不變,請求出它的長度;若變化,確定其變化范圍.
分析:(1)先求出點(diǎn)B的坐標(biāo),然后根據(jù)點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)求出OB=OC,再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等得到AB=AC,然后根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)即可證明;
(2)根據(jù)等角的余角相等求出∠FDO=∠BAO,然后利用“角邊角”證明△DOF和△AOB全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OF=OB,從而求出點(diǎn)F的坐標(biāo),再根據(jù)待定系數(shù)法求直線解析式求出直線DF的解析式,與直線l1的解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)G的坐標(biāo);
(3)過點(diǎn)P作PN∥AB交BC于點(diǎn)N,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠MPN=∠Q,然后證明PN=BQ,再利用“角角邊”證明△QBM和△PNM全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得MN=BM,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得ON=OC,從而證明OM=
1
2
BC,是定值.
解答:證明:(1)對于y=3x+3,令y=0,得3x+3=0,x=-1,
∴B(-1,0).
∵C(1,0),
∴OB=OC,
∴AO垂直平分BC,
∴AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB;

解:(2)∵AO⊥BC,DE⊥AC,
∴∠1+∠C=∠2+∠C=90°,
∴∠1=∠2.
∵AB=AC,
∴AO平分∠BAC,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3.
對于y=3x+3,當(dāng)x=0時(shí),y=3,
∴A(0,3),
又∵D(-3,0),
∴DO=AO.
∵∠AOB=∠DOF=90°,
∴△DOF≌△AOB(ASA),
∴OF=OB,
∴F(0,1).
設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b,
-3k+b=0
b=1
,
解得
k=
1
3
b=1
,
∴y=
1
3
x+1,
聯(lián)立
y=
1
3
x+1
y=3x+3

解得
x=-
3
4
y=
3
4
,
所以,點(diǎn)G(-
3
4
,
3
4
);

解:(3)OM的長度不會發(fā)生變化,過P點(diǎn)作PN∥AB交BC于N點(diǎn),
則∠1=∠Q,∠ABC=∠PNC,
∵∠ABC=∠ACB,
∴∠PNC=∠PCB,
∴PN=PC,
∵CP=BQ,
∴PN=BQ,
∵∠2=∠3,
∴△QBM≌△PNM(AAS),
∴MN=BM.
∵PC=PN,PO⊥CN,
∴ON=OC,
∵BM+MN+ON+OC=BC,
∴OM=MN+ON=
1
2
BC=1.
點(diǎn)評:本題綜合考查了一次函數(shù),待定系數(shù)法求直線解析式,兩直線的交點(diǎn)的求解,全等三角形的判定與性質(zhì),以及等角對等邊,等邊對等角的性質(zhì),綜合性較強(qiáng),關(guān)系比較復(fù)雜,但難度不大,只要仔細(xì)分析,認(rèn)真求解,便不難解答.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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如圖1,矩形AOBP的面積為6,反比例函數(shù)y=
kx
的圖象經(jīng)過點(diǎn)P,那么k的值為
 
;直線l1:y=k1x+b與直線l2:y=k2x在同一精英家教網(wǎng)平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖2所示,則關(guān)于x的不等式k1x+b>k2x的解為
 

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精英家教網(wǎng)已知如圖所示,直線L1,L2相交于A點(diǎn),請根據(jù)圖象寫出以交點(diǎn)坐標(biāo)為解的二元一次方程組,并求出它的解.

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(2013•海淀區(qū)一模)問題:如圖1,a、b、c、d是同一平面內(nèi)的一組等距平行線(相鄰平行線間的距離為1).畫出一個(gè)正方形ABCD,使它的頂點(diǎn)A、B、C、D分別在直線a、b、d、c上,并計(jì)算它的邊長.

小明的思考過程:
他利用圖1中的等距平行線構(gòu)造了3×3的正方形網(wǎng)格,得到了輔助正方形EFGH,如圖2所示,再分別找到它的四條邊的三等分點(diǎn)A、B、C、D,就可以畫出一個(gè)滿足題目要求的正方形.
請回答:圖2中正方形ABCD的邊長為
5
5

請參考小明的方法,解決下列問題:
(1)請?jiān)趫D3的菱形網(wǎng)格(最小的菱形有一個(gè)內(nèi)角為60°,邊長為1)中,畫出一個(gè)等邊△ABC,使它的頂點(diǎn)A、B、C落在格點(diǎn)上,且分別在直線a、b、c上;
(3)如圖4,l1、l2、l3是同一平面內(nèi)的三條平行線,l1、l2之間的距離是
21
5
,l2、l3之間的距離是
21
10
,等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在l1、l2、l3上,直接寫出△ABC的邊長.

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如圖所示,直線l1與l2,l3相交,構(gòu)成的八個(gè)角中,已知∠1=∠8,則與∠8互補(bǔ)的角有( 。

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