如圖,已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為2的一個定點,AC⊥x軸于點M,交直線y=-x于點N.若點P是線段ON上的一個動點,∠APB=30°,BA⊥PA,則點P在線段ON上運動時,A點不變,B點隨之運動.求當點P從點O運動到點N時,點B運動的路徑長是   
【答案】分析:(1)首先,需要證明線段BBn就是點B運動的路徑(或軌跡),如答圖②所示.利用相似三角形可以證明;
(2)其次,如答圖①所示,利用相似三角形△ABBn∽△AON,求出線段BBn的長度,即點B運動的路徑長.
解答:解:由題意可知,OM=,點N在直線y=-x上,AC⊥x軸于點M,則△OMN為等腰直角三角形,ON=OM=×=
如答圖①所示,設(shè)動點P在O點(起點)時,點B的位置為B,動點P在N點(起點)時,點B的位置為Bn,連接BBn
∵AO⊥AB,AN⊥ABn,∴∠OAC=∠BABn
又∵AB=AO•tan30°,ABn=AN•tan30°,∴AB:AO=ABn:AN=tan30°,
∴△ABBn∽△AON,且相似比為tan30°,
∴BBn=ON•tan30°=×=
現(xiàn)在來證明線段BBn就是點B運動的路徑(或軌跡).
如答圖②所示,當點P運動至ON上的任一點時,設(shè)其對應(yīng)的點B為Bi,連接AP,ABi,BBi
∵AO⊥AB,AP⊥ABi,∴∠OAP=∠BABi
又∵AB=AO•tan30°,ABi=AP•tan30°,∴AB:AO=ABi:AP,
∴△ABBi∽△AOP,∴∠ABBi=∠AOP.
又∵△ABBn∽△AON,∴∠ABBn=∠AOP,
∴∠ABBi=∠ABBn,
∴點Bi在線段BBn上,即線段BBn就是點B運動的路徑(或軌跡).
綜上所述,點B運動的路徑(或軌跡)是線段BBn,其長度為
故答案為:
點評:本題考查坐標平面內(nèi)由相似關(guān)系確定的點的運動軌跡,難度很大.本題的要點有兩個:首先,確定點B的運動路徑是本題的核心,這要求考生有很好的空間想象能力和分析問題的能力;其次,由相似關(guān)系求出點B運動路徑的長度,可以大幅簡化計算,避免陷入坐標關(guān)系的復(fù)雜運算之中.
練習(xí)冊系列答案
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(2013•湖州)如圖,已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為2
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的一個定點,AC⊥x軸于點M,交直線y=-x于點N.若點P是線段ON上的一個動點,∠APB=30°,BA⊥PA,則點P在線段ON上運動時,A點不變,B點隨之運動.求當點P從點O運動到點N時,點B運動的路徑長是
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已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)y=2x-1,其中一次函數(shù)圖象經(jīng)過(a,b)與(a+1,b+k)兩點。
(1)  求反比例函數(shù)的解析式;
(2)  如圖,已知點A是第一象限內(nèi)上述兩個函數(shù)圖象的交點,求A點坐標。
(3)  利用(2)的結(jié)果,請問:在x軸上是否存在點P,使△AOP為等腰三角形?若存在,把符合條件的P點坐標都求出來;若不存在,請說明理由。

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如圖,已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為的一個定點,AC⊥x軸于點M,交直線y=-x于點N.若點P是線段ON上的一個動點,∠APB=30°,BA⊥PA,則點P在線段ON上運動時,A點不變,B點隨之運動.求當點P從點O運動到點N時,點B運動的路徑長是   

 

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如圖,已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標為2的一個定點,AC⊥x軸于點M,交直線y=﹣x于點N.若點P是線段ON上的一個動點,∠APB=30°,BA⊥PA,則點P在線段ON上運動時,A點不變,B點隨之運動.求當點P從點O運動到點N時,點B運動的路徑長是  

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