Question

某縣社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)辦公室，為了解決該縣甲、乙兩村和一所中學(xué)長(zhǎng)期存在的飲水困難問(wèn)題，想在這三個(gè)地方的其中一處建一所供水站，由供水站直接鋪設(shè)管道到另外兩處。

如圖，甲、乙兩村坐落在夾角為30°的兩條公路的AB段和CD段（村子和公路的寬均不計(jì)），點(diǎn)M表示這所中學(xué)。點(diǎn)B在點(diǎn)M的北偏西30°的3km處，點(diǎn)A在點(diǎn)M的正西方向，點(diǎn)D在點(diǎn)M的南偏西60°的km處。

為使供水站鋪設(shè)到另兩處的管道長(zhǎng)度之和最短，現(xiàn)有如下三種方案：

方案一：供水站建在點(diǎn)M處，請(qǐng)你求出鋪設(shè)到甲村某處和乙村某處的管道長(zhǎng)度之和的最小值；

方案二：供水站建在乙村（線(xiàn)段CD某處），甲村要求管道鋪設(shè)到A處，請(qǐng)你在圖①中，畫(huà)出鋪設(shè)到點(diǎn)A和點(diǎn)M處的管道長(zhǎng)度之和最小的線(xiàn)路圖，并求其最小值；

方案三：供水站建在甲村（線(xiàn)段AB某處），請(qǐng)你在圖②中，畫(huà)出鋪設(shè)到乙村某處和點(diǎn)M處的管道長(zhǎng)度之和最小的線(xiàn)路圖，并求其最小值。

綜上，你認(rèn)為把供水站建在何處，所需鋪設(shè)的管道最短？

 

Answer 1

解：方案一：由題意可得：MB⊥OB

∴點(diǎn)M到甲村的最短距離為MB。

∵點(diǎn)M到乙村的最短距離為MD，

∴將供水站建在點(diǎn)M處時(shí)，管道沿MD、MB線(xiàn)路鋪設(shè)的長(zhǎng)度之和最小，

即最小值為MB+MD=3+ （km）

方案二：如圖①，作點(diǎn)M關(guān)于射線(xiàn)OE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，則MM′＝2ME，

連接AM′交OE于點(diǎn)P，PE∥AM，PE＝。

∵AM＝2BM＝6，∴PE＝3

在Rt△DME中，

∵DE＝DM·sin60°＝×＝3，ME＝＝×，

∴PE＝DE，∴ P點(diǎn)與E點(diǎn)重合，即AM′過(guò)D點(diǎn)。）

在線(xiàn)段CD上任取一點(diǎn)P′，連接P′A，P′M，P′M′，

則P′M＝P′M′。

∵A P′＋P′M′＞AM′，

∴把供水站建在乙村的D點(diǎn)處，管道沿DA、DM線(xiàn)路鋪設(shè)的長(zhǎng)度之和最小，

即最小值為AD＋DM＝AM′＝

方案三：作點(diǎn)M關(guān)于射線(xiàn)OF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′，作M′N(xiāo)⊥OE于N點(diǎn)，交OF于點(diǎn)G，

交AM于點(diǎn)H，連接GM，則GM＝GM′

∴M′N(xiāo)為點(diǎn)M′到OE的最短距離，即M′N(xiāo)＝GM＋GN

在Rt△M′HM中，∠MM′N(xiāo)＝30°，MM′＝6，

∴MH＝3，∴NE＝MH＝3

∵DE＝3，∴N、D兩點(diǎn)重合，即M′N(xiāo)過(guò)D點(diǎn)。

在Rt△M′DM中，DM＝，∴M′D＝

在線(xiàn)段AB上任取一點(diǎn)G′，過(guò)G′作G′N(xiāo)′⊥OE于N′點(diǎn)，

連接G′M′，G′M，

顯然G′M＋G′N(xiāo)′＝G′M′＋G′N(xiāo)′＞M′D

∴把供水站建在甲村的G處，管道沿GM、GD

線(xiàn)路鋪設(shè)的長(zhǎng)度之和最小，即最小值為

GM＋GD＝M′D＝。

綜上，∵3＋＜，

∴供水站建在M處，所需鋪設(shè)的管道長(zhǎng)度最短。