Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC=10，BC=12，P是上的一個動點，過點P作BC的平行線交AB的延長線于點D．
（1）當點P在什么位置時，DP是⊙O的切線？請說明理由；
（2）當DP為⊙O的切線時，求線段DP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據當點P是的中點時，得出=，得出PA是○O的直徑，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，問題得證；
（2）利用切線的性質，由勾股定理得出半徑長，進而得出△ABE∽△ADP，即可得出DP的長．
解答：解：（1）當點P是的中點時，DP是⊙O的切線．理由如下：
∵AB=AC，
∴=，
又∵=，
∴=，
∴PA是⊙O的直徑，
∵=，
∴∠1=∠2，
又AB=AC，
∴PA⊥BC，
又∵DP∥BC，
∴DP⊥PA，
∴DP是⊙O的切線．

（2）連接OB，設PA交BC于點E．
由垂徑定理，得BE=BC=6，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得：
AE===8，
設⊙O的半徑為r，則OE=8-r，
在Rt△OBE中，由勾股定理，得：
r²=6²+（8-r）²，
解得r=，
∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D，
又∵∠1=∠1，
∴△ABE∽△ADP，
∴=，即=，
解得：DP=．
點評：此題主要考查了切線的判定與性質以及勾股定理和相似三角形的判定與性質，根據已知得出△ABE∽△ADP是解題關鍵．