Question

如圖，拋物線y=（x+1）²+k與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C（0，-3）．
（1）求拋物線的對稱軸及k值；
（2）拋物線的對稱軸上存在一點P，使得PA+PC的值最小，求此時點P的坐標(biāo)；
（3）點M是拋物線上一動點，且在第三象限，當(dāng)M點運動到何處時，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時點M的坐標(biāo)；
（4）若點E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點F，使以A、B、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的頂點式即可得到拋物線的對稱軸為直線x=-1，然后把C點坐標(biāo)代入解析式可求出k=-4；
（2）令y=0得到（x+1）²-4=0，解得x₁=1，x₂=-3，可確定A點坐標(biāo)為（-3，0），B點坐標(biāo)為（1，0），再利用待定系數(shù)法確定直線AC的關(guān)系式為y=-x-3，由于使得PA+PC的值最小的點P為直線AC與對稱軸的交點，把x=-1代入y=-x-3即可確定P點坐標(biāo)；
（3）連接OM，設(shè)M點坐標(biāo)為（x，（x+1）²-4），利用S_{四邊形AMCB}=S_△AMO+S_△CMO+S_△CBO可得到S_{四邊形AMCB}=-x²-x+6，配方得到S=-（x+）²+，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題得到當(dāng)x=-時，S最大，最大值為；同時可得到M點坐標(biāo)；
（4）討論：當(dāng)以AB為對角線，利用EA=EB和四邊形AFBE為平行四邊形得到四邊形AFBE為菱形，則點F也在對稱軸上，即F點為拋物線的頂點，所以F點坐標(biāo)為（-1，-4）；當(dāng)以AB為邊時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到EF=AB=4，則可確定F的橫坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式得到F點的縱坐標(biāo)．
解答：解：（1）拋物線的對稱軸為直線x=-1，
把C（0，-3）代入y=（x+1）²+k得-3=1+k，
∴k=-4；
（2）連接AC，交對稱軸于點P，如圖1，
對于y=（x+1）²-4，令y=0，則（x+1）²-4=0，解得x₁=1，x₂=-3，
∴A點坐標(biāo)為（-3，0），B點坐標(biāo)為（1，0），
設(shè)直線AC的關(guān)系式為：y=mx+b，
把A（-3，0），C（0，-3）代入y=m x+b得，解得，
∴直線AC的關(guān)系式為y=-x-3，
當(dāng)x=-1時，y=1-3=-2，
∴P點坐標(biāo)為（-1，-2）；
（3）連接OM，如圖1，設(shè)M點坐標(biāo)為（x，（x+1）²-4）
S_{四邊形AMCB}=S_△AMO+S_△CMO+S_△CBO=×AO×|y_m|+×CO×|x_m|+×OC×BO
=[4-（x+1）²]+×3×（-x）+×3×1
=-x²-x+6
=-（x+）²+，
當(dāng)x=-時，S最大，最大值為；
此時M點坐標(biāo)為（-，-）；
（4）存在．點F的坐標(biāo)為（-1，-4）、（3，12）、（-5，12）．
當(dāng)以AB為對角線，如圖2，
∵四邊形AFBE為平行四邊形，
而EA=EB，
∴四邊形AFBE為菱形，
∴點F也在對稱軸上，即F點為拋物線的頂點，
∴F點坐標(biāo)為（-1，-4）；
當(dāng)以AB為邊時，如圖3，
∵四邊形AFBE為平行四邊形，
∴EF=AB=4，即F₂E=4，F(xiàn)₁E=4，
∴F₁的橫坐標(biāo)為3，F(xiàn)₂的橫坐標(biāo)為-5，
對于y=（x+1）²-4，
當(dāng)x=3時，y=16-4=12；
當(dāng)x=-5時，y=16-12，
∴F點坐標(biāo)為（3，12）或（-5，12）．
點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象為拋物線，其頂點式為y=a（x-）²+，拋物線的對稱軸為x=-，當(dāng)a＞0，y_最小值=；當(dāng)a＜0，y_{最，大值}=；拋物線上的點的橫縱坐標(biāo)滿足拋物線的解析式；對于特殊四邊形的判定與性質(zhì)要熟練運用．